Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 9 стр.

                                                                      9
                                                   −βr
                                           4 πγe          2  8πγ 4 πγe −βR
                            ϕ i ( r) = −                 1 + βr  + 3 −     [1 + βR ],
                                             β2                  β r   β2
                                               −βR   R 2       2  8πγ
                            ϕ e ( r) = 4 πγe            +    + 3 
                                                                    + 3 .
                                                      β   β β R β R
                                                            2


           б ) Ка к ви дно и з вы ш е пр и ве де нно го р е ш е ни я, и спо льзо ва ни е те о р е мы Га усса для
           о пр е де ле ни я на пр яж е нно сти по ля во змо ж но пр и си мме тр и ч но м р а спр е де ле ни и
           за р яда (усло ви е , по зво ляющ е е вы не сти мо дуль на пр яж е нно сти и з по д зна ка
           и нте гр а ла ). Ре ш е ни я за да ч эле ктр о ста ти ки путе м и нте гр и р о ва ни я ур а вне ни й
           Л а пла са и П уа ссо на сво б о дно о т это го не до ста тка . О дна ко , е сли это во змо ж но ,
           уч и ты ва ть си мме тр и ю не о б хо ди мо и в это м случ а е для упр о щ е ни я р е ш е ни я.
                   П о те нци а лы внутр и ϕi и сна р уж и ϕe ш а р а удо вле тво р яют ур а вне ни ям
           П уа ссо на и Л а пла са со о тве тстве нно :

                                                          ∇ ϕ i = −4 πρ,
                                                            2


                                                          ∇ 2ϕ e = 0.
                  У ч и ты ва я сф е р и ч е скую си мме тр и ю за да ч и за пи ш е м:
                                           1 d  2 d  −4πρ, r ≤ R;
                                                  r    ϕ = 
                                           r
                                             2
                                               dr   dr   0, r ≥ R.
                  П р о и нте гр и р о ва в да нны е       ди ф ф е р е нци а льны е   ур а вне ни я 2-го   по р ядка
           по луч а е м:
                                                                −βr
                                                     4 πγe             2  C1
                                      ϕ i ( r) = −                    1 − βr  − r + C 2 ,
                                                           β2                
                                                         C3
                                      ϕ e ( r) = −          + C4 .
                                                          r
                  П о сто янны е C2 и C3 о пр е де ляются и з усло ви я не пр е р ы вно сти на гр а ни це
           по те нци а ла и е го пр о и зво дно й (т. к. по ве р хно стны й за р яд р а ве н нулю : σ = 0):
                                                         ϕ i ( R ) = ϕ e ( R ),
                                                         dϕ i             dϕ e
                                                                      =         .
                                                          dr    R          dr R
                  П о сто янна я C1 = 0, т. к.            ϕi (0) < −∞ , а C4 = 0 о б е спе ч и ва е т р а ве нство
           ϕ e (∞) = 0 .На пр яж е нно сть внутр и и сна р уж и ш а р а на хо ди тся по ф о р муле (1.7).
           1.8 Ш а р р а ди уса R за р яж е н с о б ъ е мно й пло тно стью ρ = ρ ( r ) . На йти
           на пр яж е нно сть и по те нци а л по ля во все м пр о стр а нстве , е сли :
                  а ) ρ = const; б ) ρ(r) = α+βr; в) ρ(r) = αr n (n > – 2). Зде сь α, β – ко нста нты .


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com