Статистическая радиофизика. Тинин М.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

10
II. Отклик линейной системы на шумовое воздействие
1.
Найти корреляционную функцию на выходе идеальной
дифференцирующей цепи
()
()
dx t
yt
dt
= ,
когда на входе стационарный процесс ()
x
t .
2. Найти корреляционную функцию на выходе цепи, описываемой
выражением
()
() ()
dx t
yt xt
dt
=+
,
когда на входе стационарный процесс
()
x
t .
Решение:
Учитывая линейность преобразования
()yx, нетрудно найти
математическое ожидание
()yt
[]
()
() [ ()]
() () () [ ()] ()
x
y x
dm t
dx t dM x t
mt Myt M xt Mxt mt
dt dt dt
⎡⎤
== += +=+
⎢⎥
⎣⎦
Для стационарного процесса ()
x
x
m t const m
=
= . Поэтому в нашем случае
() ()
yx
mt mt
=
Для определения корреляционной функции найдем центрированную случайную
функцию
[
]
[]
() ()
()
()
() () () () () () ()
()
()
x
x
yx x
dxt m t
dm t
dx t
yt yt m t xt m t xt m t
dt dt dt
dx t
xt
dt
−
⎡⎤
≡− = +− + = + −
⎢⎥
⎣⎦
=+
%
%
%
Теперь по определению корреляционной функции
12
(, )
y
Ktt :
[
]
12 1 2
(, ) ()( )
y
Ktt Mytyt=
%%
.
Подставляя сюда ()
y
t
%
, получаем
12
12 1 2
2
12 12 12
12
12 1 2
() ()
(, ) () ( )
(, ) (, ) (, )
(, )
y
xxx
x
dx t dx t
Ktt M xt xt
dt dt
Ktt Ktt Ktt
Ktt
tt t t
⎡
⎤
⎛⎞⎛ ⎞
=+ +=
⎜⎟⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝ ⎠
⎣
⎦
∂∂∂
+++
∂∂ ∂ ∂
%%
%%
Для стационарного процесса
12 2 1
(,)()()
xx x
Ktt Kt t K
=
−= . Поэтому в нашем
случае
2
12
2
()
(, ) () ()
x
yxy
dK
Ktt K K
d
τ
τ
τ
τ
=− + =
То есть стационарный в широком смысле процесс остается стационарным.
3.
Найти корреляционную функцию на выходе идеальной интегрирующей
цепи 
                   II. Отклик линейной системы на шумовое воздействие

    1. Найти корреляционную функцию на выходе идеальной
       дифференцирующей цепи
                                         dx(t )
                                y (t ) =        ,
                                          dt

      когда на входе стационарный процесс x(t ) .
   2. Найти корреляционную функцию на выходе цепи, описываемой
       выражением
                                                     dx(t )
                                            y (t ) =        + x(t ) ,
                                                        dt
       когда на входе стационарный процесс x(t ) .
       Решение:
       Учитывая линейность преобразования y ( x) , нетрудно найти
математическое ожидание y (t )
                                   ⎡ dx(t )          ⎤ dM [ x(t )]                   dmx (t )
       m y (t ) = M [ y (t ) ] = M ⎢        + x(t ) ⎥ =               + M [ x(t )] =          + mx (t )
                                   ⎣ dt              ⎦        dt                       dt
Для стационарного процесса mx (t ) = const = mx . Поэтому в нашем случае
                                                m y (t ) = mx (t )
Для определения корреляционной функции найдем центрированную случайную
функцию

                                    dx(t )           ⎡ dm (t )     ⎤ d [ x(t ) − mx (t ) ]
     y% (t ) ≡ y (t ) − my (t ) =          + x(t ) − ⎢ x + mx (t ) ⎥ =                     + [ x(t ) − mx (t ) ]
                                     dt              ⎣ dt          ⎦          dt
         dx% (t )
     =            + x% (t )
           dt

Теперь по определению корреляционной функции K y (t1 , t2 ) :

                                            K y (t1 , t2 ) = M [ y% (t1 ) y% (t2 ) ] .
Подставляя сюда y% (t ) , получаем
                                        ⎡⎛ dx% (t1 )            ⎞ ⎛ dx% (t2 )            ⎞⎤
                 K y (t1 , t2 ) = M ⎢⎜               + x% (t1 ) ⎟ ⎜           + x% (t2 ) ⎟ ⎥ =
                                        ⎣⎝ dt                   ⎠ ⎝ dt                   ⎠⎦
                 ∂ K x (t1 , t2 ) ∂K x (t1 , t2 ) ∂K x (t1 , t2 )
                  2
                                    +                 +                   + K x (t1 , t2 )
                     ∂t1∂t2                ∂t1                  ∂t2
Для стационарного процесса K x (t1 , t2 ) = K x (t2 − t1 ) = K x (τ ) . Поэтому в нашем
случае
                                              d 2 K x (τ )
                          K y (t1 , t2 ) = −                + K x (τ ) = K y (τ )
                                                  dτ 2
То есть стационарный в широком смысле процесс остается стационарным.

    3. Найти корреляционную функцию на выходе идеальной интегрирующей
       цепи


                                                                                                           10

Страницы