Составители:
Рубрика:
11
будет справедливо не только для оценки (2.10), но и для оценки, получен-
ным любым другим способом. Подставив (2.2) в (2.10), получим
wA)AA(x)wAx(A)AA(hA)AA(x
ˆ
T1TT1TT1T −−−
+
=
+
==
.
(2.12)
Второе слагаемое в (2.12) равно нулю только в том случае, если вектор слу-
чайных ошибок равен нулю, и точное значение вектора х можно найти лишь
при полном отсутствии случайных ошибок. На практике случайные ошибки
есть всегда (т.е. w ≠ 0), поэтому (2.11) можно считать очевидным.
Тем не менее, оценка МНК (2.10) обладает тремя важными
свойствами.
Свойство 1. Несмещенность
x]x
ˆ
[E
=
.
(2.13)
Это свойство утверждает, что с исходным вектором х совпадает не
оценка (2.6), а ее математическое ожидание. Действительно, используя
(2.5), (2.7) и (2.12), имеем
.x]w[EA)AA(x]wA)AA[(E]x[E
)]wAx(A)AA[(E]hA)AA[(E]х[E
T1TT1T
T1TT1T
=+=+=
=+==
−−
−−
)
(2.14)
Свойство 2. Эффективность
Свойство эффективности заключатся в том, что МНК позволяет получить
оценку с минимальной дисперсией по сравнению с другими оценками. Что-
бы провести доказательство, сперва получим формулу для дисперсионной
матрицы оценки вектора (2.10)
.)AA(A]ww[EA)AA(
)AA(A])wAx)(wAx[(EA)AA(
)AA(A]hh[EA)AA(
])AA(AhhA)AA[(E]x
ˆ
x
ˆ
[EQ
ˆ
1TTT1T
1TTT1T
1TTT1T
1TTT1TT
x
−−
−−
−−
−−
=
=++=
==
===
(2.15)
В (2.4) мы неявно предполагали, что вектор ошибок имеет дисперсию
равную единице, то есть,
]ww[E
T
=
w
Q= I, где I – единичная матрица.
Тогда из (2.15) следует, что
.)AA(A]ww[EA)AA(Q
ˆ
1TTT1T
X
−−
=
(2.16)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
