Математические методы обработки наблюдений. Титов О.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12
Диагональные элементы матрицы
x
Q
ˆ
являются оценками дисперсии эле-
ментов вектора х, а недиагональные элементы матрицы
x
Q
ˆ
характеризуют
взаимосвязь между элементами вектора х – корреляции. Можно показать,
что оценки дисперсии, полученные данным методом, окажутся минималь-
ными, то есть диагональные элементы
x
Q
ˆ
, полученные по МНК, меньше
диагональных элементов, полученных другим методом.
Свойство 3. Состоятельность
.
{
}
xx
ˆ
lim
N
N
=
∞→
.
(2.17)
Свойство состоятельности означает, что при увеличении числа наблю-
дений МНК-оценка приближается к исходному вектору х.
Кроме указанных трех основных свойств МНК-оценки обладают еще и
другими свойствами, которые можно найти в монографиях, посвященных
этой проблеме [Рао, 1968; Себер, 1980].
Эти свойства оценки МНК, а также простота приведенных формул, при-
вели к
тому, что этот алгоритм широко применяется в различных областях
знаний для решения самых разнообразных задач.
Введем вектор остаточных невязок
h)RI(hA)AA(Ahx
ˆ
Аh
T1T
−
=
−=
−
=ε
−
,
(2.18)
где R – проекционная матрица вида (2.6). Остаточные невязки характери-
зуют разброс наблюдений относительно выбранной модели.
Рассмотрим дисперсию вектора остаточных невязок
].w)RI(w[E]h)RI(h[E]h)RI()RI(h[E
)]h)RI(()h)RI[((E)]x
ˆ
Ah()x
ˆ
Ah[(E][E][D
TTTT
TTT
−=−=−−=
=−−=−−=εε=ε
(2.19)
Квадратичная форма
w)RI(w
T
−
имеет
2
χ
-распределение с числом
степеней свободы равным rank (I – R) = N – n. Используя свойства
2
χ
-рас-
пределения [Рао, 1968], получаем
)nN](w[D][D
−
=
ε , (2.20)

Страницы