Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 10 стр.

BYTX OPREDELENA BINARNAQ OPERACIQ (UMNOVENIE):
                    G G ;! G (g1 g2) 7! g1g2
TAKAQ, ^TO WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SWOJSTWA:
 1) (ASOCIATIWNOSTX) (g1g2)g3 = g1(g2g3) DLQ L@BYH g1 g2 g3 2 G 
 2) SU]ESTWUET e 2 G , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH g 2 G IME@T MESTO RAWEN-
    STWA: ge = eg = e 
 3) DLQ KAVDOGO x 2 G NAJDETSQ y 2 G TAKOJ, ^TO xy = yx = e .
pOKAVEM, ^TO \LEMENT y IZ SWOJSTWA 3) OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dO-
PUSTIM, ^TO DLQ DANNOGO x NALOSX DWA OBRATNYH \LEMENTA y1 I y2 .
tOGDA (y1 x)y2 = ey2 = y2 . nO, S DRUGOJ STORONY, (y1 x)y2 = y1(xy2) =
y1e = y1 . iTAK, y1 = y2 . tAK KAK OBRATNYJ K g 2 G \LEMENT OPREDE-
LQETSQ ODNOZNA^NO, EGO OBOZNA^A@T KAK g;1 . sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI
g;1 ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE NEKOTORYH WAVNYH SOOTNOENIJ.
pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO W L@BOJ GRUPPE G DLQ WSEH x y 2 G IMEET
MESTO RAWENSTWO:
                            (xy);1 = y;1 x;1
dLQ \TOGO DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO (xy)(y;1 x;1) = (y;1 x;1)(xy) = e ,
^TO NE DOLVNO WYZYWATX ZATRUDNENIJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO \LEMENT
y;1 x;1 OBLADAET W TO^NOSTI TEMI VE SAMYMI SWOJSTWAMI, KOTORYE HA-
RAKTERIZU@T (xy);1 . wWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA ZAKL@-
^AEM, ^TO (xy);1 = y;1x;1 . iNDUKCIEJ NETRUDNO POKAZATX, ^TO
                    (x1x2 : : :xn );1 = x;n 1 : : : x;2 1x;1 1
DLQ WSEH n .

                                       10