Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 9 стр.

ESTX NEJTRALXNYJ \LEMENT e , TO \TOT VE \LEMENT (ILI ODNO\LEMENT-
NOE MNOVESTWO feg ) BUDET NEJTRALXNYM \LEMENTOM W P . w SAMOM DELE,
DLQ KAVDOGO A  P MNOVESTWA eA = feaja 2 Ag = faja 2 Ag I
Ae = faeja 2 Ag = faja 2 Ag SOWPADA@T S A . eSLI POLUGRUPPA P
KOMMUTATIWNA, TO KOMMUTATIWNA I P . w SAMOM DELE, ESLI ab = ba DLQ
L@BYH a I b , TO AB = fabja 2 A b 2 B g = fbaja 2 A b 2 B g = BA .
   |TOMU PRIMERU UDELENO TAK MNOGO MESTA POTOMU, ^TO UMNOVENIE POD-
MNOVESTW I SWOJSTWO EGO ASSOCIATINOSTI (A INOGDA I KOMMUTATIWNOSTI)
BUDET ISPOLXZOWATXSQ W DALXNJEM O^ENX ^ASTO. zAMETIM E]E, ^TO ESLI
OPERACIQ W P ZAPISYWAETSQ ADDITIWNO, TO WMESTO (1) NADO ISPOLXZO-
WATX SLEDU@]EE OPREDELENIE:
                   A + B = f a + b j a 2 A b 2 B g              (2)
nEJTRALXNYM \LEMENTOM W   P   W \TOM SLU^AE QWLQETSQ NULX POLUGRUPPY
P (ESLI ON ESTX).

   gRUPPOJ NAZYWAETSQ POLUGRUPPA G S NEJTRALXNYM \LEMENTOM e (KO-
TORYJ ^A]E WSEGO BUDET NAZYWATXSQ EDINICEJ GRUPPY), W KOTOROJ DLQ
KAVDOGO x 2 G SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT y 2 G , ^TO xy = yx = e .
|LEMENT y NAZYWAETSQ OBRATNYM K \LEMENTU x , I OBOZNA^AETSQ x;1 .
   kAVDAQ GRUPPA QWLQETSQ POLUGRUPPOJ S NEJTRALXNYM \LEMENTOM. oB-
RATNOE NEWERNO. tAK, NI ODNA IZ POLUGRUPP W PRIMERAH 1 { 4 GRUPPOJ
ZAWEDOMO NE QWLQETSQ. w PRIMERE 5 SITUACIQ BOLEE SLOVNAQ, NO I W NEM
WSE MNOVESTWO P GRUPPOJ, WOOB]E GOWORQ, NE BUDET. oDNAKO NEKOTO-
RYE PODMNOVESTWA P MOGUT BYTX GRUPPAMI, ESLI SAMA POLUGRUPPA P
QWLQETSQ GRUPPOJ. |TI SLU^AI RAZOBRANY DALEE W RAZDELE 4.
   sOBEREM WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ GRUPPY WMESTE. iTAK, DOLVNA

                                  9