Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 11 стр.

 1.1. dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x 2 G , I xn = e , TO
x;1 = xn;1 . wERNO I OBRATNOE: IZ x;1 = xn;1 SLEDUET xn = e . dOKAVITE
TAKVE BOLEE OB]IJ FAKT: ESLI 1  k  n ; 1 I xn = 1 , TO x;k = xn;k .
  w ^ASTNOSTI, SWOJSTWO x = x;1 RAWNOSILXNO TOMU, ^TO x2 = e .
  nAIMENXEE CELOE POLOVITELXNOE n , DLQ KOTOROGO xn = e , NAZY-
WAETSQ PORQDKOM \LEMENTA x . sWOJSTWA PORQDKOW \LEMENTOW BUDUT POD-
ROBNO IZU^ATXSQ W RAZDELE 3.

  oTMETIM E]E, ^TO (x;1 );1 = x . |TO TAKVE MOVNO USTANOWITX, IS-
POLXZUQ SWOJSTWO EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA. pOLOVIM y =
x;1 , I NAJDEM y;1 . dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO RAWENSTWA
xy = yx = e MOGUT SLUVITX NE TOLXKO OPREDELENIEM OBRATNOGO \LE-
MENTA DLQ x , NO I OBRATNOGO \LEMENTA DLQ y , A \TIM \LEMENTOM OKA-
ZYWAETSQ IMENNO x , I TOLXKO ON, WWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO DLQ
y.
     i E]E ODNO (WOZMOVNO, TRIWIALXNOE) ZAME^ANIE. |LEMENT
                                z }|n {
                                xx : : : x
( n -KRATNOE PROIZWEDENIE x NA x ) PRINQTO OBOZNA^ATX ^EREZ xn . bUDEM
S^ITATX O^EWIDNYM, ^TO, WWIDU ASSOCIATIWNOSTI UMNOVENIQ, xnxm =
xn+m (W NEKOTORYH KNIGAH \TO RAWENSTWO DOKAZYWAETSQ!). bUDEM TAKVE
POLAGATX PO OPREDELENI@, ^TO
                                z        }|n   {
                         x;n = x;1x;1 : : : x;1 :
pROWERXTE, ^TO (xn);1 = x;n . dLQ GRUPP, W KOTORYH WMESTO UMNOVENIQ
PIETSQ SLOVENIE, WMESTO x;1 NADO PISATX ;x , WMESTO xn DOLVNO
STOQTX x + + x = nx , I SOOTWETSTWENNO WMESTO x;n ISPOLXZUETSQ
ZAPISX ;nx .
                                    11