Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 24 стр.

Un  OKAZYWAETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY C = GL1(C) , I QSNO, ^TO \TA
GRUPPA CIKLI^ESKAQ S OBRAZU@]IM u1 .

  oSNOWNYE SWOJSTWA CIKLI^ESKIH GRUPP SOBRANY W SLEDU@]EJ TEORE-
ME.
tEOREMA   1.1.kAVDAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA IZOMORFNA LIBO Z (BESKO-
NE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA), LIBO Un | KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUP-
PA. l@BAQ PODGRUPPA CIKLI^ESKOJ GRUPPY QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ.
dOKAZATELXSTWO pUSTX G = hxi = f: : : x;2 x;1 1 x1 x2 : : :g . sNA-
                   .

^ALA WYQSNIM, KOGDA WOZMOVNA TAKAQ SITUACIQ: xk = xm PRI k 6= m
NAPRIMER PRI k < m . uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x;k , PRI-
HODIM K RAWENSTWU xm;k = 1 , PRI^EM m;k > 0 . rASSMOTRIM MNOVESTWO
WSEH CELYH POLOVITELXNYH ^ISEL l TAKIH, ^TO xl = 1 . kAK TOLXKO ^TO
WYQSNILOSX, \TO MNOVESTWO NEPUSTO. pUSTX n | NAIMENXEE ^ISLO IZ
\TOGO MNOVESTWA. rASSMOTRIM \LEMENTY 1 x : : : xn;1 , I POKAVEM, ^TO
SREDI NIH NET ODINAKOWYH. eSLI BY xk = xm PRI 0  k < m < n , TO
SNOWA POLU^ILOSX BY xm;k = 1 , NO 0 < m ; k < n , I \TO PROTIWORE^IT
WYBORU n . s DRUGOJ STORONY, PUSTX xm | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ
G . rAZDELIM m NA n S OSTATKOM: m = nq + r , GDE 0  r < n . tOGDA
                   xm = xnq+r = xnq xr = (xn )q xr = xr 
TAK KAK xn = 1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO xm 2 f1 x : : : xn;1g , I \TO
OZNA^AET, ^TO WSQ GRUPPA G SOSTOIT IZ POPARNO RAZLI^NYH \LEMENTOW
1 x : : : xn;1 , I, W ^ASTNOSTI, QWLQETSQ KONE^NOJ.
   oPREDELIM OTOBRAVENIE h : G ! Un , POLAGAQ PRI 0  k  n ; 1 EGO
ZNA^ENIE RAWNYM h(xk ) = e nk i = uk , GDE u = cos 2n + i sin 2n . qSNO,
                             2


^TO \TO BIEKCIQ, I ^TO h(1) = 1 . oSTAETSQ PROWERITX, ^TO h(xk xl ) =
                                    24