Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 25 стр.

h(xk+l ) = h(xk )h(xl ) DLQ L@BYH 0  k l < n . eSLI k + l < n , TO \TO
O^EWIDNO. eSLI VE m = k + l > n , TO PUSTX, KAK I WYE, m = nq + r ,
0  r < n . tOGDA xm = xr , I h(xm ) = h(xr ) = ur (NADO POMNITX, ^TO
ZNA^ENIE h(xk ) OPREDELENO TOLXKO PRI 0  k < n ). s DRUGOJ STORONY,
             h(xk )h(xl ) = uk ul = uk+l = unq ur = (un )q ur = ur 
TAK KAK u ESTX KORENX n -J STEPENI IZ EDINICY. sLEDOWATELXNO, h QW-
LQETSQ GOMOMORFIZMOM, A ZNA^IT, I IZOMORFIZMOM.
   eSLI VE GRUPPA G BESKONE^NA, TO SOOTNOENIE WIDA xk = xm PRI
k 6= m NEWOZMOVNO. |TO ZNA^IT, ^TO WSE STEPENI xk PRI k 2 Z RAZ-
LI^NY, I OTOBRAVENIE h : Z ! G , h(k) = xk QWLQETSQ BIEKCIEJ. tAK
KAK x0 = 1 , xk+l = xk xl , TO \TO K TOMU VE GOMOMORFIZM GRUPP. iTAK,
POSTROEN BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM, TO ESTX IZOMORFIZM Z = G .
   pUSTX TEPERX G = hxi | NEKOTORAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA, I DOPUSTIM,
^TO G0  G | NETRIWIALXNAQ PODGRUPPA G . mNOVESTWO G0 SOSTOIT
IZ STEPENEJ \LEMENTA x , POLOVITELXNYH I (WOZMOVNO) OTRICATELXNYH.
wYBEREM \LEMENT y = xn 2 G0 S NAIMENXIM WOZMOVNYM n > 0 , I
POKAVEM, ^TO G0 SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH STEPENEJ y , I TOLXKO IZ NIH.
s ODNOJ STORONY PONQTNO, ^TO yk = xnk 2 G0 DLQ L@BOGO CELOGO m .
pUSTX xm 2 G0 . pREDSTAWIM m W WIDE m = nq + r , S 0  r < n . tOGDA
xm = (xn)q xr . oTS@DA xr = (xn );q xm . tAK KAK xm 2 G0 I xn 2 G0 ,
OTS@DA SLEDUET, ^TO xr 2 G0 . eSLI r > 0 , TO POLU^IM PROTIWORE^IE S
MINIMALXNOSTX@ n . zNA^IT, r = 0 , m = nq , I xm = (xn)q = yq . iTAK,
G0 SOSTOIT IZ WSEH WOZMOVNYH STEPENEJ y . 2

  bUDEM W DALXNEJEM OBOZNA^ATX KONE^NYE CIKLI^ESKIE GRUPPY PO-
RQDKA n ^EREZ Zn ( W NEKOTORYH KNIGAH WSTRE^AETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE
Cn ). iTAK, Zn = f1 x x2 : : : xn;1g I xn = 1 .

                                   25