Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 53 стр.

Dn PO H . sU]ESTWUET LI PODGRUPPA K SO SWOJSTWAMI H \ K = f1g
I HK = Dn ?


lEMMA    3.1.pUSTX H | PODGRUPPA GRUPPY G . tOGDA \KWIWALENT-
NY SLEDU@]IE TRI USLOWIQ:
 1) xH = Hx DLQ KAVDOGO x 2 G 
 2) xHx;1 = H DLQ L@BOGO x 2 G 
 3) xHx;1  H DLQ L@BOGO x 2 G .
dOKAZATELXSTWO zDESX ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA UMNOVENIQ PODMNO-
                  .

VESTW GRUPPY, OPISANNYE W PRIMERE 1.5. w ^ASTNOSTI, ISPOLXZUETSQ AS-
SOCIATIWNOSTX \TOGO UMNOVENIQ. dOPUSTIM, ^TO xH = Hx DLQ KAV-
DOGO x 2 G . uMNOVIM OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA SPRAWA NA x;1 , I
POLU^IM RAWENSTWO xHx;1 = H . o^EWIDNO, ^TO IZ USLOWIQ 2) SLEDUET
USLOWIE 3). pOKAVEM, ^TO IZ 3) SLEDUET 2). zDESX NEOBHODIMO UBEDITXSQ,
^TO ESLI xHx;1  H DLQ WSEH x , TO H  xHx;1 . zDESX KL@^EWU@
ROLX IGRAET USLOWIE \DLQ WSEH x ". \dLQ WSEH x 2 G " OZNA^AET, ^TO W
TOM ^ISLE I DLQ x;1 . zAMENQQ x NA x;1 , POLU^AEM, ^TO IZ 3) SLEDUET
x;1H (x;1);1 = x;1Hx  H . uMNOVAQ SLEWA NA x , A SPRAWA NA x;1 ,
POLU^IM TREBUEMOE WKL@^ENIE H  xHx;1 . oSTALOSX POKAZATX, ^TO IZ
USLOWIQ 2) SLEDUET USLOWIE 1). i SNOWA BEREM RAWENSTWO xHx;1 = H , I
UMNOVAEM EGO SPRAWA NA x . pOLU^IM TREBUEMOE RAWENSTWO xH = Hx .
2

  pODGRUPPA H GRUPPY G NAZYWAETSQ NORMALXNOJ, ESLI WYPOLNQETSQ
L@BOE IZ \KWIWALENTNYH USLOWIJ 1), 2), 3) \TOJ LEMMY. l@BAQ PODGRUP-
PA KOMMUTATIWNOJ GRUPPY QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ.
                                  53