Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 56 стр.

 3.37.  dOKAZATX, ^TO ESLI H | KAKAQ-NIBUDX PODGRUPPA GRUPPY G , I
X  H , TO hX i  H . wYWESTI OTS@DA, ^TO hX i QWLQETSQ PERESE^ENIEM
WSEH NORMALXNYH PODGRUPP GRUPPY G , SODERVA]IH PODMNOVESTWO X .

   bUDEM NAZYWATX hX i NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY G , POROV-
DENNOJ MNOVESTWOM X . rASSMOTRIM PODROBNEE NORMALXNU@ PODGRUP-
PU GRUPPY G , POROVDENNU@ WSEMI KOMMUTATORAMI, TO ESTX \LEMENTA-
MI x y] = xyx;1 y;1 . |TA NORMALXNAQ PODGRUPPA OBOZNA^AETSQ ^EREZ
G G] , I NAZYWAETSQ KOMMUTANTOM GRUPPY G . tAK KAK x y] = 1 TOGDA
I TOLXKO TOGDA, ESLI xy = yx , TO W KOMMUTATIWNYH GRUPPAH KOMMUTANT
TRIWIALEN: \TO PODGRUPPA, SOSTOQ]AQ IZ ODNOGO EDINI^NOGO (NEJTRALX-
NOGO) \LEMENTA.

 3.38.  dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA, POROVDENNAQ WSEMI KOMMUTATORAMI,
SOWPADAET S NORMALXNOJ PODGRUPPOJ, POROVENNOJ WSEMI KOMMUTATORA-
MI, T.E. S KOMMUTANTOM.
   uKAZANIE. pROWERITX TOVDESTWO gx y]g;1 = gxg;1 gyg;1] , I ISPOLX-
ZOWATX EGO.
  3.39. pROWERITX TOVDESTWO x y ]
                                          ;1 = y x] . dOKAZATX, ISPOLXZUQ EGO,
^TO \LEMENTY KOMMUTANTA | \TO WSEWOZMOVNYE PROIZWEDENIQ KOMMUTA-
TOROW:
                     x1 y1]x2 y2] : : : xn yn] n  0:
  3.40. pROWERITX, ^TO S2 S2] = 1 , A3 A3] = 1 .


  3.41. dOKAZATX, ^TO Sn  Sn] = An DLQ WSEH n .


  3.42. dOKAZATX, ^TO A4  A4] = V4 . nAPOMNIM, ^TO


                V4 = f1 (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3)g
                                      56