Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 73 стр.

STWO: ESLI DANY DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h : G1 ;! G2 I f : G2 ;!
G3 , TO IH SUPERPOZICIQ fh QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY G1 W
GRUPPU G3 . nAPRIMER, OTOBRAVENIE A 7! (det(A))m ( m FIKSIROWANO)
ESTX SUPERPOZICIQ GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F  I GOMOMORFIZMA
IZ F  W F  , PEREWODQ]EGO x W xm .
   qDRO GOMOMORFIZMA GRUPP h : G ;! W OPREDELQETSQ KAK PODMNO-
VESTWO Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 1 g . eSLI GRUPPOWAQ OPERACIQ
W W OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM \ + ", A NEJTRALXNYJ \LEMENT ZAPISY-
WAETSQ W WIDE NULQ, OPREDELENIE QDRA DOLVNO IMETX SLEDU@]IJ WID:
Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 0 g . w SLU^AE INYH OBOZNA^ENIJ SLEDUET
WNOSITX SOOTWETSTWU@]IE KORREKCII, OTNOSQ]IESQ, WPRO^EM, NE K SUTI
DELA, A TOLXKO K SPOSOBU ZAPISI.
   nAPOMNIM, ^TO NORMALXNOJ NAZYWAETSQ PODGRUPPA H GRUPPY G , OB-
LADA@]AQ SWOJSTWOM: gH = Hg DLQ KAVDOGO g 2 G . |TO \KWIWALENTNO
TOMU, ^TO gHg;1  H , ILI ^TO gHg;1 = H DLQ WSEH g 2 G . w KOMMU-
TATIWNOJ GRUPPE KAVDAQ PODGRUPPA QWLQETSQ NORMALXNOJ.

lEMMA     4.1.   qDRO L@BOGO GOMOMORFIZMA | \TO NORMALXNAQ PODGRUP-
PA.
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM GOMOMORFIZM h : G ! W . pOKAVEM,
                    .

^TO Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . tAK KAK h(1) = 1 , TO
1 2 Ker(h) . pUSTX g1 g2 2 Ker(h) , TOGDA h(g1g2) = h(g1)h(g2 ) =
1 1 = 1 , OTS@DA SLEDUET, ^TO g1g2 2 Ker(h) . eSLI h(g) = 1 , TO
h(g;1) = h(g);1 = 1;1 = 1 . oTS@DA g;1 2 Ker(h) . tAKIM OBRAZOM,
Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ.
   sNOWA PUSTX g 2 Ker(h) , TO ESTX h(1) = 1 . eSLI x 2 G , TO h(xgx;1 ) =
h(x)h(1)h(x);1 = h(x)h(x);1 = 1 . |TO OZNA^AET, ^TO xgx;1 2 Ker(h) ,
TO ESTX Ker(h) QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 2
                                   73