Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 74 стр.

    qDRA NEKOTORYH GOMOMORFIZMOW IME@T OSOBOE ZNA^ENIE. nAPRIMER,
QDRO GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F  (T.E. MNOVESTWO WSEH n n -
MATRIC A TAKIH, ^TO det(A) = 1 ) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ LINEJNOJ
GRUPPOJ STEPENI n NAD POLEM (ILI NAD KOLXCOM) F , I OBOZNA^AETSQ
SLn(F ) (NAPOMNIM, ^TO GRUPPA GLn(F ) NAZYWAETSQ OB]EJ LINEJNOJ
GRUPPOJ STEPENI n ). zNAKOPEREMENNAQ GRUPPA An OPREDELQETSQ KAK QD-
RO GOMOMORFIZMA sgn .
    nAPOMNIM, ^TO ESLI f : X ;! Y | NEKOTOROE OTOBRAVENIE, I Y 0 
Y , TO POLNYM PROOBRAZOM Y 0 OTNOSITELXNO f NAZYWAETSQ MNOVESTWO
f ;1 (Y 0 ) = fx 2 X jf (x) 2 Y 0 g  X . iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO
f (f ;1 (Y 0))  Y 0 .

lEMMA     4.2.pUSTX h : G ;! W | GOMOMORFIZM GRUPP, I H =
Ker(h) . tOGDA DLQ KAVDOGO w 2 W POLNYJ PROOBRAZ h;1(fwg) ESTX
LIBO PUSTOE MNOVESTWO, LIBO MNOVESTWO WIDA gH = Hg , GDE h(g) =
w . |LEMENT g 2 h;1 (fwg) MOVNO ZDESX WYBIRATX PROIZWOLXNYM OB-
RAZOM.
dOKAZATELXSTWO wMESTO h;1(fwg) BUDEM PISATX h;1(w) . |TO MNO-
                   .

VESTWO WSEH TAKIH g 2 G , ^TO h(g) = w . iNA^E GOWORQ, h;1(w) ESTX
MNOVESTWO REENIJ URAWNENIQ h(x) = w . zAMETIM, ^TO PO SAMOMU OPRE-
DELENI@ Ker(h) = h;1 (1) .
   pREDPOLOVIM, ^TO h;1 (w) NEPUSTO. wYBEREM KAKOJ-NIBUDX g 2 h;1(w) ,
I PUSTX x 2 H = Ker(h) . tOGDA h(gx) = h(g)h(x) = w 1 = w , I ANA-
LOGI^NO h(xg) = w . |TO OZNA^AET, ^TO gH  h;1(w) I Hg  h;1 (w) .
pUSTX y 2 h;1(w) , T.E. h(y) = w . rASSMOTRIM x = g;1y . tAK KAK
h(x) = h(g);1h(y) = w;1w = 1 , TO x 2 H . oTS@DA y = gx 2 gH .
                                    74