Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 79 стр.

dOKAZATELXSTWO dOKAVEM 1). nEOBHODIMO USTANOWITX WKL@^ENIQ:
                  .

HH  H I H  HH . pO OPREDELENI@, HH = fx1x2jx1 x2 2 H g .
nO TAK KAK H | PODGRUPPA, TO IZ x1 x2 2 H SLEDUET x1x2 2 H .
oTS@DA HH  H . tAK KAK 1 2 H , TO L@BOJ x 2 H PREDSTAWIM W WIDE
x = x1x2 , GDE x1 x2 2 H : x1 = x x2 = 1 .
  tEPERX LEGKO DOKAZATX 2). pREDSTAWIM KLASS A W WIDE A = xH ,
KLASS B W WIDE B = yH , I TOGDA
    AB = (xH )(yH ) = (x(Hy))H = (x(yH ))H = (xy)(HH ) = xyH:
zDESX ISPOLXZOWANA ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ MPODMNOVESTW GRUPPY,
SWOJSTWO NORMALXNOSTI H ( Hy = yH ) I SWOJSTWO 1): HH = H . iTAK
KLASSY UMNOVA@TSQ PO SLEDU@]EMU PRAWILU:
                           (xH )(yH ) = xyH                          (1)
iZ DOKAZATELXSTWA WIDNO, ^TO REZULXTAT PROIZWEDENIQ NE ZAWISIT OT
SPOSOBA PREDSTAWLENIQ KLASSOW W WIDE xH , yH .
  pRIMERNO TAK VE DOKAZYWAETSQ SWOJSTWO 3):
 (xH )H = x(HH ) = xH H (xH ) = (Hx)H = (xH )H = x(HH ) = xH:
sWOJSTWO 4) MOVNO WYWESTI IZ DWUH OB]IH SWOJSTW PROIZWEDENIJ POD-
MNOVESTW PODGRUPPY: H ;1 = H DLQ L@BOJ PODGRUPPY H , I (AB );1 =
B ;1A;1 DLQ L@BYH A B  G . w SAMOM DELE, ESLI x 2 H , TO x;1 2 H .
|TO ZNA^IT, ^TO H ;1  H . s DRUGOJ STORONY, KAVDYJ x 2 H PRED-
STAWMI W WIDE x = (x;1);1 , GDE x;1 2 H . |TO ZNA^IT, ^TO H  H ;1 .
dALEE, (AB );1 = f(ab);1 = b;1a;1ja 2 A b 2 B g , B ;1A;1 = fb;1a;1jb 2
B a 2 Ag . o^EWIDNO, ^TO \TO ODNO I TO VE MNOVESTWO.
   pUSTX TEPERX A = xH = fxgH . tOGDA
              A;1 = H ;1fxg;1 = H ;1x;1 = Hx;1 = x;1H:
                                   79