Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 81 стр.

dOKAZATELXSTWO dOPUSTIM, ^TO GOMOMORFIZM  SO SWOJSTWOM  =
                  .

h SU]ESTWUET. pOKAVEM, ^TO ON OPREDELEN ODNOZNA^NO. dOPUSTIM, ^TO
ESTX DWA OTOBRAVENIQ, 1 I 2 , TAKIE, ^TO 1 = 2 = h . oTOBRA-
VENIE  S@R_EKTIWNO: KAVDYJ \LEMENT G=H IMEET WID xH = (x)
DLQ NEKOTOROGO x 2 G . tOGDA 1(xH ) = 1((x)) = h(x) , I 2(xH ) =
2((x)) = h(x) . tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIQ OTOBRAVENIJ 1 I 2 SOW-
PADA@T DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA. zNA^IT, 1 = 2 . iZ \TIH VE
RASSUVDENIJ DOLVNO BYTX QSNO, ^TO ESLI  SU]ESTWUET, TO EGO ZNA^E-
NIE NA ARGUMENTE xH 2 G=H DOLVNO BYTX RAWNO h(x) .
   pOKAVEM, ^TO USLOWIE H  Ker(h) POZWOLQET KORREKTNO OPREDELITX
TAKOE OTOBRAVENIE. pROBLEMA ZDESX ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ODIN I TOT
VE KLASS MOVNO ZADATX NESKOLXKIMI SPOSOBAMI: x1H = x2H = : : : , I NE
O^EWIDNO, ^TO TOGDA ZNA^ENIE  NA \TOM ARGUMENTE OPREDELENO ODNO-
ZNA^NO, TAK KAK OPREDELENIE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ KLAS-
SA. oDNOZNA^NOSTX POLU^ITSQ, ESLI IZ x1H = x2H BUDET SLEDOWATX
h(x1 ) = h(x2 ) . iTAK, PUSTX x1H = x2H . tOGDA x;1 1x2 2 H  Ker(h) .
|TO ZNA^IT, ^TO h(x;1 1 x2) = 1 . pRIMENQQ OPREDELENIE GOMOMORFIZMA,
POLU^AEM, ^TO h(x;1 1 x2) = h(x1 );1h(x2 ) = 1 , OTKUDA I SLEDUET, ^TO
h(x1 ) = h(x2) .
   iTAK, OTOBRAVENIE  : G=H ;! W SO SWOJSTWOM (xH ) = h(x) SU-
]ESTWUET I OPREDELENO ODNOZNA^NO. pOKAVEM, ^TO ONO QWLQETSQ GOMOMOR-
FIZMOM GRUPP. eDINICEJ GRUPPY G=H QWLQETSQ KLASS H = 1H S PRED-
STAWITELEM 1 2 G . pO OPREDELENI@  BUDEM IMETX (H ) = h(1) = 1 .
dALEE,
       ((xH )(yH )) = (xyH ) = h(xy) = h(x)h(y) = (xH )(yH ):
|TIM DOKAZANO, ^TO  QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM.
   iZ SAMOGO OPREDELENIQ  SLEDUET, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIW-
NO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h . wY^IS-
                                  81