Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 82 стр.

LIM QDRO  . kLASS xH PRINADLEVIT QDRU TOGDA I TOLXKO TOGDA, ES-
LI (xH ) = h(x) = 1 , TO ESTX W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI
x 2 Ker(h) . eSLI GOMOMORFIZM  IN_EKTIWEN, TO EGO QDRO SOSTOIT IZ
EDINSTWENNOGO KLASSA H , A \TO ZNA^IT, ^TO IZ x 2 Ker(h) SLEDUET
xH = H . nO OTS@DA SLEDUET x 2 H , ^TO OZNA^AET Ker(h)  H . tAK
KAK OBRATNOE WKL@^ENIE IMEETSQ PO USLOWI@, TO H = Ker(h) . oBRATNO,
ESLI H = Ker(h) , TO QDRO  SOSTOIT IZ TEH KLASSOW xH , DLQ KOTORYH
x 2 Ker(h) = H , TO ESTX xH = H , I QDRO SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA.
kAK UVE BYLO POKAZANO WYE, \TO OZNA^AET IN_EKTIWNOSTX h . 2
   kAK SLEDSTWIE, POLU^AETSQ TEOREMA, NAZYWAEMAQ TEOREMOJ OB IZO-
MORFIZME.
tEOREMA   4.2.pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I
S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H =
Ker(h) . tOGDA IMEET MESTO IZOMORFIZM G=H = W .


 4.10.w ZADA^AH 4.1 | 4.9, TAM, GDE GOMOMORFIZMY S@R_EKTIWNY,
FAKTI^ESKI (S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA) WY^ISLENY FAKTORGRUPPY.
sFORMULIROWATX \TI UTWERVDENIQ W QWNOM WIDE I OBOSNOWATX IH.
 4.11. dOKAZATX, ^TO Z=nZ = Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMOR-
FIZM h : Z ! Un , h(m) = e mn .
                           2




 4.12. dOKAZATX, ^TO Unm =Um = Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMOR-
FIZM h : C ! C , h(z ) = z m , I EGO OGRANI^ENIE NA PODGRUPPU Unm .
nAJTI OBRAZ I QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA.
 4.13. wY^ISLITX FAKTORGRUPPU     C
                                      =Kn .   nAPOMNIM, ^TO   Kn   = fz 2
C jz 2 R + g .
  n

                                 82