Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 1. Тронин С.Н. - 80 стр.

iTAK,
                           (xH );1 = x;1H                         (2)
kAK I W (1), PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA (2) NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTA-
WITELQ x W KLASSE xH .
  nAKONEC, ESLI A = xH , A;1 = x;1H , TO
                 AA;1 = (xH )(x;1 H ) = (xx;1 )H = H
                 A;1A = (x;1 H )(xH ) = (x;1 x)H = H:
2
   wSE \TI SWOJSTWA SMEVNYH KLASSOW OZNA^A@T, ^TO UMNOVENIE KLASSOW
PREWRA]AET MNOVESTWO G=H W GRUPPU S NEJTRALXNYM \LEMENTOM H .
|TA GRUPPA NAZYWAETSQ FAKTORGRUPPOJ GRUPPY G PO NORMALXNOJ POD-
GRUPPE H . fORMULY (1) I (2) ZADA@T SPOSOB WY^ISLENIQ PROIZWEDENIQ
\LEMENTOW FAKTORGRUPPY I OBRATNYH \LEMENTOW.
   sOPOSTAWLQQ \LEMENTU x 2 G SMEVNYJ KLASS xH , POLU^IM S@R_EK-
TIWNOE OTOBRAVENIE  : G ;! G=H , (x) = xH . qSNO, ^TO (x) = H
TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x 2 H . fORMULA (1) ZAPISYWAETSQ KAK
(xy) = (x)(y) . tAKIM OBRAZOM,  OKAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM GO-
MOMORFIZMOM GRUPP, QDRO KOTOROGO ESTX H . |TOT GOMOMORFIZM NAZY-
WAETSQ (ESTESTWENNOJ) PROEKCIEJ GRUPPY G NA FAKTORGRUPPU G=H .
   sLEDU@]AQ TEOREMA NAZYWAETSQ TEOREMOJ O GOMOMORFIZME.
tEOREMA   4.1.pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I
GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H  Ker(h) . tOGDA
SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMORFIZM  : G=H ;! W ,
TAKOJ, ^TO  = h (INYMI SLOWAMI, (xH ) = h(x) ).
  gOMOMORFIZM  IN_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI H =
Ker(h) . gOMOMORFIZM  S@R_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI
S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h .
                                  80