Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 12 стр.

VESTWE X . tOGDA MO]NOSTTX L@BOJ ORBITY Gx RAWNA INDEKSU
jG : St(x)j STABILIZATORA St(x) \LEMENTA x . w ^ASTNOSTI, MO]-
NOSTX KAVDOJ ORBITY DELIT PORQDOK GRUPPY jGj .
dOKAZATELXSTWO w SAMOM DELE, ESLI H = St(x) , TO jGj = jG : H j 
                    .

jH j , NO PO TEOREME 5.1 jG : H j = jG=H j = jGxj . 2
sLEDSTWIE     pUSTX jGj = pk , I p | PROSTOE ^ISLO. tOGDA CENTR
             5.2.

GRUPPY G SOSTOIT BOLEE ^EM IZ ODNOGO \LEMENTA.
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM DEJSTWIE G NA G SOPRQVENIQMI, I
                    .

PUSTX X1 : : : Xm | ORBITY \TOGO DEJSTWIQ. tOGDA G = X1 : : : Xm ,
I TAK KAK ORBITY NE PERESEKA@TSQ, TO jGj = pk = jX1j +    + jXmj . iZ
PREDYDU]EGO SLEDSTWIQ WYTEKAET, ^TO WSE jXij QWLQ@TSQ DELITELQMI
jGj = pk , TO ESTX \TO KAKIE-TO STEPENI PROSTOGO ^ISLA p . oDNAKO PO
KRAJNEJ MERE U ODNOJ ORBITY MO]NOSTX RAWNA EDINICE. |TA ORBITA |
MNOVESTWO f1g . eSLI BY MO]NOSTI WSEH OSTALXNYH ORBIT BYLI BOLXE
EDINICY, TO POLU^ILOSX BY PROTIWORE^IE: LEWAQ ^ASTX RAWENSTWA jGj =
jX1j +    + jXmj DELITSQ NA p , A PRAWAQ NET. sLEDOWATELXNO, KOLI^ESTWO
ORBIT, MO]NOSTX KOTORYH RAWNA EDINICE, BUDET BOLXE EDINICY. nO
OB_EDINENIE WSEH TAKIH ORBIT I QWLQETSQ CENTROM GRUPPY G . 2
 5.15.   pUSTX G | KONE^NAQ GRUPPA, jGj = p2 . dOKAZATX, ^TO LIBO G
QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ, LIBO G = Up Up . w ^ASTNOSTI, G KOMMUTA-
TIWNA.
   uKAZANIE. pUSTX G NE QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. wO-PERWYH, NADO POM-
NITX, ^TO L@BAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n IZOMORFNA Un , TAK
^TO FAKTI^ESKI NADO ISKATX W G DWE CIKLI^ESKIE PODGRUPPY K I H ,
jK j = p jH j = p , UDOWLETWORQ@]IE USLOWIQM RAZLOVENIQ W PRQMOE PRO-
IZWEDENIE. wO-WTORYH, MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ SLEDSTWIEM 5.2, W KOTOROM
                                     12