Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 13 стр.

UTWERVDAETSQ, ^TO CENTR GRUPPY PORQDKA p2 OTLI^EN OT EDINICY. wY-
BEREM W CENTRE \LEMENT x PORQDKA p (PO^EMU \TO MOVNO SDELATX?), I
RASSMOTRIM K = hxi = f1 x : : : xp;1 . tAK KAK jGj = p2 , TO NAJDETSQ
y 62 K , PORQDOK KOTOROGO RAWEN p (PO^EMU?). pOLOVIM H = hyi . tOGDA
G = KH , K \ H = f1g (PO^EMU \TO TAK?), I DLQ L@BYH a 2 K , b 2 H
BUDEM IMETX ab = ba (OBOSNUJTE I \TOT FAKT).

  rASSMOTRIM PROIZWOLXNOE DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE X ,
G X ! X , (g x) 7! gx . pUSTX g 2 G . oBOZNA^IM ^EREZ Fix(g)
MNOVESTWO TEH x 2 X , DLQ KOTORYH gx = x .
tEOREMA   5.2.   (bERNSAJD) pUSTX GRUPPA G I MNOVESTWO X KONE^NY       ,

Im   |   KOLI^ESTWO ORBIT DEJSTWIQ G NA X . tOGDA
                              m = jG1 j            jFix(g)j:
                                              X
                                          g2G
dOKAZATELXSTWO pUSTX X  : : : Xm | RAZLI^NYE ORBITY DEJSTWIQ
                    .                 1

G NA X . w ^ASTNOSTI, jX j = jX1j +    + jXmj . rASSMOTRIM MNOVESTWO
                   Y    = f (g x) j g 2 G x 2 X gx = x g
I PREDSTAWIM EGO W WIDE NEKOTORYH OB_EDINENIJ NEPERESEKA@]IHSQ POD-
MNOVESTW DWUMQ RAZNYMI SPOSOBAMI. s ODNOJ STORONY,
                         = i x2X f(g x)jgx = xg
                          Y
                                m 
                                
                                 =1       i
                                                                  (1)
o^EWIDNO, ^TO ESLI x 6= y , TO f(g x)jgx = xg \ f(g y)jgy = yg = .
zAMETIM E]E, ^TO ESLI ZAFIKSIROWATX x , TO SU]ESTWUET O^EWIDNOE
WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWOM f(g x)jgx = xg
I St(x) = fgjgx = xg . kROME TOGO, ESLI x y PRINADLEVAT ODNOJ I TOJ
VE ORBITE Xi , TO IZ STABILIZATORY SOPRQVENY, I POTOMU IH PORQDKI
                                              13