Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 22 стр.

 5.32.   pUSTX p1 I p2 | PROSTYE ^ISLA, DELQ]IE PORQDOK GRUPPY jGj ,
I p1 6= p2 . pUSTX H1 | SILOWSKAQ p1 -PODGRUPPA, I H2 |SILOWSKAQ
p2 - PODGRUPPA GRUPPY G . pREDPOLOVIM, KAK I WYE, ^TO jGj = pr1ps2 , I
DOPUSTIM, ^TO GRUPPA G KOMMUTATIWNA. . dOKAZATX, ^TO G = H1 H2 .
 5.33. pUSTX G | KONE^NAQ KOMMUTATIWNAQ GRUPPA. dOKAZATX, ^TO
GRUPPA G IZOMORFNA PRQMOMU PROIZWEDENI@ SWOIH SILOWSKIH p -PODGRUPP
PO WSEM PROSTYM p , DELQ]IM PORQDOK G .


 5.34. pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p
| PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . dOKAZATX, ^TO U \TOGO DEJSTWIQ
SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA ODNO\LEMENTNAQ ORBITA.
 5.35.  pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jX j = m , jGj = pn , p |
PROSTOE ^ISLO. dOKAZATX, ^TO ESLI U \TOGO DEJSTWIQ NET ODNO\LEMENTNYH
ORBIT, TO m DELITSQ NA p .
 5.36. pUSTX DANO DEJSTWIE G X ! X , GDE jGj = pnl , p | PROSTOE
^ISLO I l NE DELITSQ NA p . dOPUSTIM, ^TO STABILIZATORY WSEH \LEMEN-
TOW X IME@T PORQDKI WIDA pk . dOKAZATX, ^TO jX j DELITSQ NA l .
 5.37.   pUSTX K , H | PODGRUPPY KONE^NOJ GRUPPY G , jK j = pr ,
jG : H j = m , p | PROSTOE ^ISLO I m NE DELITSQ NA p . rASSMOTRIM
DEJSTWIE K LEWYMI SDWIGAMI NA MNOVESTWE G=H = fx1H : : : xmH g :
x(xi H ) = xxi H . dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET ORBITA IZ ODNOGO \LEMENTA.
wYWESTI OTS@DA, ^TO GRUPPA K IZOMORFNA NEKOTOROJ PODGRUPPE H .
uKAZANIE. pUSTX xiH | ODNO\LEMENTNAQ ORBITA DEJSTWIQ K NA G=H .
pOKAVITE, ^TO DLQ KAVDOGO x 2 K IMEET MESTO WKL@^ENIE x;i 1xxi 2 H .
                                  22