Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 26 стр.

PA W SV ), STROIM DEJSTWIE T : G V ! V GRUPPY G NA MNOVESTWE
V PO PRAWILU: T (g v) = T (g)(v) . sWOJSTWO LINEJNOSTI OTOBRAVENIQ
T (g) (T.E. SWOJSTWO T (g)(v1 1 + v2 2) = T (g)(v1 ) 1 + T (g)(v2 ) 2 ) PREWRA-
]AETSQ W USLOWIE LINEJNOSTI DEJSTWIQ: T (g v1 1 + v2 2) = T (g v1) 1 +
 T   (g v ) .
         2   2

     w KONE^NOM S^ETE IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA       sU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEV-
                 6.1.

DU LINEJNYMI DEJSTWIQMI G NA V , I GOMOMORFIZMAMI GRUPP G ;!
GL(V ) . |TO SOOTWETSTWIE ZADAETSQ OPISANNYMI WYE KONSTRUKCI-
QMI: 7! T , T 7! T .
  nAPOMNIM, ^TO ESLI W PROSTRANSTWE V ZADAN BAZIS (NAPRIMER, e1 : : :  en ),
TO SU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LINEJNYMI
OTOBRAVENIQMI ' : V ! V I KWADRATNYMI n n -MATRICAMI NAD
POLEM F . pOSTROENIE \TOGO SOOTWETSTWIQ NA^INAETSQ S SOOTNOENIQ
                              '(ej ) =
                                         n
                                         X
                                               ei aij 
                                         i=1
GDE aij 2 F . lINEJNOMU OTOBRAVENI@ ' STAWITSQ W SOOTWETSTWIE MAT-
RICA M' S KOMPONENTAMI aij . pRI \TOM SUPERPOZICII LINEJNYH OTO-
BRAVENIJ ' SOOTWETSTWUET UMNOVENIE MATRIC: M' = M'M . zAME-
TIM, ^TO ZDESX PRAWOSTORONNEE UMNOVENIE WEKTOROW NA \LEMENTY POLQ
WESXMA OBLEG^AET DOKAZATELXSTWO. tOVDESTWENNOMU LINEJNOMU OTOBRA-
VENI@ SOOTWETSTWUET EDINI^NAQ MATRICA. iZ WSEGO \TOGO SLEDUET, ^TO
SOOTWETSTWIE ' 7! M' QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU GRUPPOJ GL(V )
I GRUPPOJ GLn(F ) WSEH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD POLEM F .
   gOMOMORFIZMY WIDA T : G ! GL(V ) ILI T : G ! GLn(F ) NAZY-
WA@TSQ LINEJNYMI PREDSTAWLENIQMI GRUPPY G NAD POLEM F (TO^NEE,
n -MERNYMI PREDSTAWLENIQMI, n = dim(V )).
                                      26