Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 28 стр.

ZADAWAEMOE PO PRAWILU (g (v1 v2)) 7! g(v1 v2) = (gv1 gv2). dOKAVITE,
^TO \TO | LINEJNOE DEJSTWIE G NA V1  V2 . oPREDELENNYJ TAKIM SPO-
SOBOM G -MODULX V1  V2 NAZYWAETSQ PRQMOJ SUMMOJ G -MODULEJ V1 I
V2 . wYBEREM W V1 BAZIS e1 : : :  en , A W V2 | BAZIS en+1 : : : en+m . tOG-
DA MOVNO S^ITATX, ^TO PREDSTAWLENIQ, SOOTWETSTWU@]IE G -MODULQM
V1 I V2 | \TO GOMOMORFIZMY T1 : G ! GLn(F ) I T2 : G ! GLm (F ) .
kAK IZWESTNO IZ LINEJNOJ ALGEBRY, MNOVESTWO e1 : : :  en en+1 : : :  en+m
BUDET BAZISOM PRQMOJ SUMMY V1  V2 ( ZDESX MY UVE S^ITAEM V1 I V2
PODPOSTRANSTWAMI V1  V2 I OTOVDESTWLQEM ei S (ei  0) PRI 1  i  n ,
I ej S (0 ej ) PRI n + 1  j  n + m ). dOKAVITE, ^TO PREDSTAWLENIE,
SOOTWETSTWU@]EE G -MODUL@ V1  V2 , T.E. W DANNOM SLU^AE GOMOMORFIZM
T : G ;! GLn+m(F ) IMEET PRI DANNOM WYBORE BAZISA SLEDU@]IJ WID:
                                    0                1
                                         T1(g)0
                          T (g) =   BB               CC
                                                      A:
                                     @
                                        0 T (g)  2

 6.6.   pUSTX V | NEKOTORYJ G -MODULX ( n = dim(V ) < 1 ), I V |            1

G PODMODULX MODULQ V . |TO OZNA^AET, ^TO DLQ KAVDOGO g 2 G I L@-
  -

BOGO v 2 V \LEMENT gv SNOWA PRINADLEVIT V , TO ESTX OGRANI^ENIE
            1                                              1

DEJSTWIQ G S V NA V BUDET LINEJNYM DEJSTWIEM G NA V . wY-
                           1                                            1

BEREM KAKOJ-NIBUDX BAZIS e  : : : ek W V , I DOPOLNIM EGO \LEMENTAMI
                               1                 1

ek  : : : en DO BAZISA V . rASSMOTRIM PREDSTAWLENIE T , SOOTWETSTWU@-
  +1

]EE G -MODUL@ V . |TO GOMOMORFIZM G GLn(F ) . dOKAVITE, ^TO MAT-
RICY T (g) W WYBRANNOM BAZISE IME@T SLEDU@]IJ BLO^NO-TREUGOLXNYJ
WID:                                0              1
                                      T (g) B (g) CC
                          T (g) = BB@
                                        0 T (g) A 
                                          1

                                                 2

GDE T (g) | BLOKI RAZMEROM k k , T (g) | BLOKI RAZMEROM (n ;
        1                                        2

k) (n ; k) . dOKAVITE, ^TO OTOBRAVENIE g 7! T (g) QWLQETSQ LINEJ-
                                                               1

NYM PREDSTAWLENIEM, SOOTWETSTWU@]IM G -MODUL@ V , A OTOBRAVENIE    1

                                          28