Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 31 стр.

\TOM PROSTRANSTWE PO PRAWILU (xi xj xk ) = x(i) x(j) x(k) . dOKAZATX, ^TO
PODPROSTRANSTWO W = hx1x2x3 ; x1x3x4 x1x2x3 ; x1x2x4 x1x2x4 ; x2 x3x4i
QWLQETSQ S4 -PODMODULEM V . pOSTROITX SOOTWETSTWU@]EE PREDSTAWLE-
NIE. bUDET LI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWNYM?

   wERNEMSQ K SITUACII, KOGDA G DEJSTWUET NA X , I LINEJNO DEJSTWU-
ET NA PROSTRANSTWE VX , BAZISOM KOTOROGO QWLQETSQ MNOVESTWO X , PO
FORMULE (*). oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET SLU^AJ, KOGDA X = G . dLQ
VG IMETSQ OB]EUPOTREBITELXNOE OBOZNA^ENIE FG (NAPOMNIM, ^TO F
| POLE), I NA \TOM LINEJNOM PROSTRANSTWE MOVNO WWWESTI STRUKTURU
ASSOCIATIWNOGO KOLXCA S EDINICEJ SLEDU@]IM OBRAZOM:
                 (xX2G x x)(yX2G x x) = (gX2G g xyXxy g
                                                     =
                                                           x y   ):
kOLXCO FG NAZYWAETSQ GRUPPOWYM KOLXCOM GRUPPY G NAD POLEM F ,
ILI VE GRUPPOWOJ ALGEBROJ G NAD F . fAKTI^ESKI BAZISNYE \LEMENTY
x , y PEREMNOVA@TSQ KAK \LEMENTY GRUPPY G , PROIZWEDENIE \LEMENTOW
x x I y y RAWNO (xy) x y (KO\FFICIENTY x I x PEREMNOVA@TSQ
KAK \LEMENTY POLQ F ), A UMNOVNIE PROIZWOLXNYE LINEJNYH KOMBI-
NACIJ PROIZWODITSQ PO OBY^NYM PRAWILAM UMNOVENIQ SUMM S U^ETOM
SPOSOBA UMNOVENIQ SLAGAEMYH. dALEE PROSTO NADO \PRIWESTI PODOBNYE
^LENY". eDINICEJ KOLXCA FG QWLQETSQ EDINICA GRUPPY G . pOLE F
OTOVDESTWLQETSQ S PODKOLXCOM FG , SOSTOQ]IM IZ \LEMENTOW WIDA 1G ,
  2 F ( 1G | EDINICA GRUPPY G , W DALXNEJEM OBOZNA^AEMAQ PROSTO
KAK 1 ). gOMOMORFIZM F W FG , OSU]ESTWLQ@]IJ \TO OTOVDESTWLENIE,
DEJSTWUET PO PRAWILU 7! 1G . wWIDU \TOGO WYRAVENIQ x x MOVNO
RASSMATRIWATX KAK PROIZWEDENIQ \LEMENTOW KOLXCA, PRI^EM x x = xx ,
TAK ^TO WMESTO ZAPISI KO\FFICIENTOW SPRAWA OT BAZISNYH \LEMENTOW
MOVNO ISPOLXZOWATX I ZAPISX IH SLEWA OT BAZISNYH \LEMENTOW. tAKIM
                                       31