Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 50 стр.

TOGO, SWOJSTWAMI h(xy) = h(x)h(y) , h(1) = 1 . iZOMORFIZM KOLEC OPRE-
DELQETSQ TO^NO TAK VE, KAK IZOMORFIZM GRUPP. w KONE^NOM S^ETE \TO
BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM.
   bUDEM S^ITATX, ^TO ^ITATELX ZNAKOM S POLEM KOMPLEKSNYH ^ISEL C
I EGO SWOJSTWAMI. oBY^NOE OPREDELENIE SOSTOIT W TOM, ^TO C | \TO
LINEJNOE (ILI WEKTORNOE) PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI 2 NAD POLEM DEJ-
STWITELXNYH ^ISEL R , PRI^EM SAMO POLE R SODERVITSQ W C KAK POD-
PROSTRANSTWO, I SU]ESTWUET BAZIS C NAD R IZ DWUH \LEMENTOW: 1 2 R
I i . tAKIM OBRAZOM, KAVDYJ \LEMENT z 2 C ODNOZNA^NO ZAPISYWAETSQ
KAK LINEJNAQ KOMBINACIQ BAZISNYH WEKTOROW z = a  1 + b  i S KO\FFI-
CIENTAMI a b 2 R .
tEOREMA 7.1. pOLE KOMPLEKSNYH ^ISEL IZOMORFNO I KAK KOLXCO, I KAK
LINEJNOE PROSTRANSTWO NAD R , KOLXCU KWADRATNYH MATRIC WIDA
                             0         1
                             B@ a  ; b CA
                                b a
S \LEMENTAMI a b 2 R .
dOKAZATELXSTWO wWEDEM OBOZNA^ENIE: ESLI z = a + bi , TO
                  .
                                    0          1
                          A(z ) =   B@ a   ;b CA :
                                      b a
|LEMENTARNYE WY^ISLENIQ S MATRICAMI WTOROGO PORQDKA POKAZYWA@T,
^TO A(1) = E , A(0) = 0 , A( z ) = A(z ) DLQ 2 R , A(z1 + z2) =
A(z1) + A(z2) , I, NAKONEC, A(z1z2) = A(z1)A(z2) . wSE \TO OZNA^AET,
^TO SOOTWETSTWIE z 7! A(z ) ESTX GOMOMORFIZM KOLEC I LINEJNYH PRO-
STRANSTW NAD POLEM R . o^EWIDNO, ^TO ON IN_EKTIWEN I S@R_EKTIWEN.
2
  lEGKO PROWERQETSQ, ^TO jz j2 = a2 + b2 = det(A(z )) . o^EWIDNO TAKVE,
^TO SO(2) SODERVITSQ W KOLXCE MATRIC WIDA A(z ) , z 2 C .
                                    50