Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 51 стр.

 7.4. dOKAZATX, ^TO OGRANI^ENIE IZOMORFIZMA KOLEC z 7! A(z ) NA POD-
GRUPPU U GRUPPY C QWLQETSQ IZOMORFIZMOM MEVDU GRUPPAMI U I
SO(2).
eSLI z 2 U , TO z = cos ' + i sin ' , TAK ^TO A(z ) = A(') .

   pEREJDEM K IZU^ENI@ SO(3). dLQ PROIZWOLXNOJ n n -MATRICY A
PUSTX fA (x) | EE HARAKTERISTI^ESKIJ MNOGO^LEN, RAWNYJ det(xEn ;
A) . nAPOMNIM, ^TO \TO MNOGO^LEN n -J STEPENI I EGO SWOBODNYJ ^LEN
RAWEN (;1)n det(A). tAK KAK OPREDELITELX TRANSPONIROWANNOJ MATRI-
CY SOWPADAET S OPREDELITELEM ISHODNOJ MATRICY, TO det(xEn ; A) =
det(t(xEn ; A)) = det(xEn ; tA) . tAKIM OBRAZOM, fA(x) = f(tA)(x) . eSLI
VE A;1 = tA , TO PREDSTAWLQQ En KAK A(tA) , POLU^IM
                  xEn ; A = xA(tA) ; A = xA(tA ; x1 E ):
wY^ISLIM OPREDELITELX OT LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA:
      fA (x) = det(xA(tA ; x1 E )) = det(xA)det(tA ; x1 E ) =
           = xndet(A)(;1)ndet( x1 En ; tA) = (;1)nxndet(A)f(tA)( x1 ) =
           = (;1)nxndet(A)fA( x1 )
eSLI K TOMU VE det(A) = 1, TO 0 NE QWLQETSQ KORNEM fA (x) , I ES-
LI fA( ) = 0, TO fA( 1 ) = 0. iNYMI SLOWAMI, ESLI | SOBSTWENNOE
ZNA^ENIE MATRICY IZ SO(n), TO I 1 | TAKVE SOBSTWENNOE ZNA^ENIE.
lEMMA 7.1. u L@BOJ NEEDINI^NOJ MATRICY IZ SO(3) ODNO (I TOLX-
KO ODNO) IZ SOBSTWENNYH ZNA^ENIJ RAWNO EDINICE.
 dOKAZATELXSTWO. pONQTNO, ^TO U EDINI^NOJ 3 3 -MATRICY EDINICA
QWLQETSQ EDINSTWENNYM SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM, IME@]IM KRATNOSTX
TRI, I ^TO \TO SWOJSTWO HARAKTERIZUET TOLXKO EDINI^NU@ MATRICU. dO-
PUSTIM, ^TO A =  6 E3 , I PUSTX 1 2 3 | SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ A .
                                   51