Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 53 стр.

I OTOBRAVAET L@BOE MNOVESTWO IZ m  n LINEJNO NEZAWISIMYH \LE-
MENTOW W m RAZLI^NYH NEZAWISIMYH \LEMENTOW. nO PROSTRANSTWO V
KONE^NOMERNO, I OBLADAET BAZISOM IZ n \LEMENTOW. oTOBRAVENIE PE-
REWODIT \TOT BAZIS W MNOVESTWO IZ n LINEJNO NEZAWISIMYH \LEMENTOW,
KOTOROE W SILU \TOGO TOVE OBQZANO BYTX BAZISOM. oTS@DA SLEDUET, ^TO
  S@R_EKTIWNO.
 7.5. dOKAVITE, ^TO ESLI | ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE,
TO LINEJNOE OTOBRAVENIE ;1 TAKVE ORTOGONALXNO, I ^TO ESLI  : V !
V | DRUGOE ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE, TO ORTOGONALXNA I
SUPERPOZICIQ  .
    tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1V : V ! V , O^EWIDNO, TOVE ORTOGO-
NALXNO. iZ WSEGO \TOGO SLEDUET, ^TO MNOVESTWO WSEH ORTOGONALXNYH LI-
NEJNYH OTOBRAVENIJ IZ V W V OBRAZU@T GRUPPU, KOTORU@ MY BUDEM
OBOZNA^ATX ^EREZ O(V ).
    iZ LINEJNOJ ALGEBRY IZWESTNO, ^TO ESLI WYBRATX W V KAKOJ-NIBUDX
ORTONORMIROWANNYJ BAZIS, TO MATRICA W \TOM BAZISE QWLQETSQ ORTO-
GONALXNOJ. i NAOBOROT, ESLI ZAFIKSIROWATX W PROSTRANSTWE WEKTOROW-
STOLBCOW Rn STANDARTNYJ BAZIS I OTOVDESTWLQTX KAVDU@ ORTOGONALX-
NU@ MATRICU A S LINEJNYM OTOBRAVENIEM v 7! Av , TO \TO OTOBRAVE-
NIE BUDET ORTOGONALXNYM OTNOSITELXNO SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ (x y) =
 Pn
i=1
    xi yi , GDE
                           0           1             0           1
                           BB     x1   CC            BB     y1   CC
                      x=    BB
                             B@
                                  ..    CC
                                         CA    y=    BB
                                                       B@
                                                            ..    CC :
                                                                   CA
                                  xn                        yn
oTS@DA SLEDUET, ^TO TEM VE SPOSOBOM, KOTORYM W RAZDELE 6 STROIL-
SQ IZOMORFIZM MEVDU GL(V ) I GLn(F ) , MOVNO POLU^ITX IZOMORFIZM

                                              53