Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 57 стр.

sLEDOWATELXNO, MATRICA w W \TOM BAZISE TAKOWA:
                         0                1
                         BB ;1 0 : : : 0 CC
                              BB
                               BB      0
                              1 : : : 0 CCCC
                                BB
                                 B@
                                      ..
                              .. . . . .. CCC
                              0 ::: 1 A0
oPREDELITELX \TOJ MATRICY RAWEN ;1 , I, TAKIM OBRAZOM, w 2= SO(n).
oDNAKO IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA        7.3.kAVDOE NETOVDESTWENNOE LINEJNOE PREOBRAZOWANIE IZ
SO(2)        I SO(3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUPERPOZICII DWUH OTRA-
VENIJ.
dOKAZATELXSTWO pUSTX 2 SO(2) . tAK KAK 6= 1 , TO SU]ESTWU-
                        .

@T DWA WEKTORA a 6= b , TAKIE, ^TO b = (a) . pOLOVIM c = a ; b I
RASSMOTRIM OTRAVENIE c . wY^ISLIM
                                 S (b) = b ; 2 ((cb cc)) c:
iZWESTNO, ^TO W L@BOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE
                  (v1 v2) = 12 (k v1 + v2 k2 ; k v1 k2 ; k v2 k2):
(pRAWAQ ^ASTX | \TO WYRAVENIE 21 ((v1 + v2 v1 + v2) ; (v1  v1) ; (v2  v2)) =
1
2
  ((v1 v1) + (v1 v2) + (v2 v1) + (v2 v2) ; (v1 v1) ; (v2 v2)) , I PRI \TOM
(v  v ) = (v  v ).)
     1   2      2   1

   pUSTX v = b , v = c , TOGDA v + v = a , I MY PRIHODIM K RAWENSTWU:
                1       2                  1        2

                      2(b c) =k a k ; k b k ; k c k :
                                           2            2       2


tEPERX WSPOMNIM, ^TO OTOBRAVENIE ORTOGONALXNO. |TO ZNA^IT, ^TO
k a k = (a a) = ( (a) (a)) = (b b) =k b k . w KONE^NOM S^ETE POLU^A-
         2                                                  2

ETSQ, ^TO 2(b c) = ; k c k = (c c) . pODSTAWLQQ \TO W WYRAVENIE DLQ
                              2

 (b) , PRIHODIM K RAWENSTWU: c (b) = b + c = b + a ; b = a:
 S


                                               57