Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 58 стр.

    tEPERX RASSMOTRIM ORTOGONALXNOE LINEJNOE OTOBRAVENIE  = c .
pO POSTROENI@  (a) = c( (a)) = c(b) = a . wYBEREM WEKTOR w 6= 0
TAK, ^TOBY (a w) = 0 . pOSKOLXKU WSE PROISHODIT POKA W DWUMERNOM
EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, TO WEKTORY a w BUDUT EGO BAZISOM. wWI-
DU TOGO, ^TO PODPROSTRANSTWO V1 = hai INWARIANTNO OTNOSITELXNO  ,
INWARIANTNYM BUDET I EGO ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE V2 = hwi . sLE-
DOWATELXNO,  (w) = w DLQ NEKOTOROGO 2 R . iZ ORTOGONALXNOS-
TI  SLEDUET, ^TO ( (w)  (w)) = (w w) > 0 . nO, S DRUGOJ STORONY,
((w) (w)) = ( w w) = 2(w w). oTS@DA 2 = 1 . eSLI = +1, TO
 = 1 , T.E. c = 1 , A TAK KAK c = c;1 , TO = c . nO \TO PROTIWORE-
^IT WYBORU 2 SO(2). sLEDOWATELXNO,  (w) = ;w , A \TO ZNA^IT, ^TO
 = w . iZ w = c TEPERX POLU^AEM = c w .
    pUSTX TEPERX V | TEHMERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, I 2 SO(3)
| NETOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE. kAK UVE BYLO POKAZANO, U IMEET-
SQ SOBSTWENNOE ZNA^ENIE, RAWNOE EDINICE. wYBEREM KAKOJ-NIBUDX SOBST-
WENNYJ WEKTOR e1 , OTWE^A@]IJ \TOMU SOBSTWENNOMU ZNA^ENI@, I PUSTX
V1 = he1i | POROVDENNOE IM PODPROSTRANSTWO. o^EWIDNO, ^TO (v) = v
DLQ KAVDOGO v 2 V1 . pUSTX V2 | ORTOGONALXNOE DOPOLNENIE V1 . |TO
| DWUMERNOE EWKLIDOWO PROSTRANSTWO, I ONO INWARIANTNO OTNOSITELXNO
   . oGRANI^ENIE NA V2 QWLQETSQ \LEMENTOM GRUPPY SO(2) . oBOZNA-
^IM EGO ^EREZ 0 . o^EWIDNO, ^TO \TO | NETOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE.
k 0 2 SO(2) PRIMENIMO UVE DOKAZANNOE WYE UTWERVDENIE O TOM, ^TO
\TO | SUPERPOZICIQ DWUH OTRAVENIJ. nO \TO OTRAVENIQ W V2 , A NE W
V ! oBOZNA^IM IH ^EREZ c0 w0 . zDESX w c 2 V2 . tAKIM OBRAZOM, PUSTX
  0 =  0  0 . tEPERX RASSMOTRIM OTRAVENIQ c I tv , DEJSTWU@]IE WO WSEM
       c w
PROSTRANSTWE V . pOSKOLXKU FORMULY, PO KOTORYM ONI ZADA@TSQ, T.E.
             c(v) = v ; 2 ((v c) c I  (v) = v ; 2 (v w) w
                             c c)       w
                                                     (w w)
                                    58