Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 71 стр.

 8.1.   pROWERITX, ^TO
                          0                                                             1
            = =             + jz j
                          B@ jz1j2      0
                            0 jz j + jz j =
                                                   2
           qq   qq
                                               2                                        CA
                                                                    2               2
                                                            1                   2

           = (jz j + jz j ) = jz j + jz j = t + x + y + z :
                  1
                      2
                             2
                                 2
                                     1             1
                                                       2
                                                                    2
                                                                        2           2        2    2    2


wWIDU \TOGO LOGI^NO NAZWATX ^ISLO = KWADRATOM MODULQ KWA-       qq              qq

TERNIONA I OBOZNA^ITX ^EREZ j j . eSLI MYSLITX KWATERNION
            q                                               q
                                                                2
                                                                                                                          q

KAK WEKTOR W ^ETYREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE S KOORDINATAMI
(t x y z), TO EGO MODULX jqj = pqq = pt2 + x2 + y2 + z2 QWLQETSQ DLI-
NOJ \TOGO WEKTORA. ~ASTO ^ISLO qq = qq 2 R  H NAZYWAETSQ TAKVE
NORMOJ KWATERNIONA q I OBOZNA^AETSQ ^EREZ N (q) . i NORMA, I MODULX
KWATERNIONA | NEOTRICATELXNYE DEJSTWITELXNYE ^ISLA, N (q) = jqj2 .
 8.2.   pROWERITX, ^TO N (q) = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI                                                 q   = 0.
    zAMETIM E]E, ^TO
                               0                       1
                       z1 z2 = jz j2 + jz j2:
                          det B@                       CA
                       ;z2 z1     1      2


tEOREMA 8.2. kAVDYJ NENULEWOJ \LEMENT KOLXCA                                                     H    OBLADAET OB-
RATNYM (PO UMNOVENI@) \LEMENTOM.
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM 2 , 6= 0. tOGDA
                      .                                q =1 =           H       q                      qq         qq

N ( ) > 0 . wWIDU TOGO, ^TO N ( ) 2 , SU]ESTWUET \LEMENT N ( ) 2
    q                                          q                R

  . uMNOVIM \TOT \LEMENT NA WSE ^ASTI RAWENSTW = = N ( ) .
                                                                                                                  q
R                                                                                                qq    qq             q

pOLU^IM
                     ( N 1( ) ) = ( N 1( ) ) = 1:
                                 q
                                         q q           q
                                                                        q
                                                                            q



sLEDOWATELXNO, ; = N 1( ) . zAMETIM, ^TO \TA FORMULA OBOB]AET
                 q
                      1
                                         q

FORMULU DLQ OBRATNOGO K KOMPLEKSNOMU ^ISLU. 2
                                     q




                                                       71