Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 75 стр.

    pRIMER     8.3.    pUSTX   q= t + x + y + z . tOGDA = t ; x ; y ; z ,
                                                     i        j   k           q       i   j   k

q + = 2t = a ,
     q                  qq   = t + x + y + z = b , a b 2 . rASSMOTRIM
                                   2         2            2       2
                                                                                  R

TOVDESTWO:
                               q ; (q + q)q + qq = 0:
                                 2


zAMNENQQ   q   +   q   NA a , I qq NA b , POLU^AEM RAWENSTWO:
                                        q
                                         2
                                             ; aq + b = 0:
iTAK, KAVDYJ KWATERNION QWLQETSQ KORNEM NEKOTOROGO KWADRATNOGO URAW-
NENIQ S DEJSTWITELXNYMI KO\FFICIENTAMI.

tEOREMA      pUSTX
           8.3.              q   = t+x +y +z     i        j       k.   uSLOWIE t = 0 RAWNOSILXNO
TOMU, ^TO q2  0 .
dOKAZATELXSTWO uSLOWIE  .         0 OZNA^AET W ^ASTNOSTI, ^TO KWA-
                                             q
                                                 2

TERNION q2 QWLQETSQ SKALQRNYM, T.E. PRINADLEVIT MNOVESTWU R =
f 1j 2 Rg , T.E. q2 = 1 , GDE 2 R , I PRI \TOM < 0 . wY^ISLQQ
q
  2
    I PRODELYWAQ WYKLADKI, ANALOGI^NYE TEM, ^TO BYLI PRODELANY W
PRIMERE 8.2, POLU^AEM SISTEMU IZ NERAWENSTWA I URAWNENIQ:
                           8
                           < u2 ; jvj2  0
                           >
                                        >
                                        :v   (u + u) = 0        (6)
iTAK, \TA SISTEMA RAWNOSILXNA USLOWI@ q2  0 . eSLI t = 0 , TO u = xi ,
u = ;xi , u + u = 0 , I WTOROE RAWENSTWO IZ (6) WYPOLNENO. s DRUGOJ
STORONY, u2 = ;x2 , I PERWOE NERAWENSTWO IZ (6) PREWRA]AETSQ W
                                       ;x2 ; y2 ; z 2  0
A \TO WERNO DLQ L@BYH DEJSTWITELXNYH x y z .

                                                         75