Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 8 стр.

gx , GDE g PROBEGAET WS@ GRUPPU G . bUDEM S^ITATX IZWESTNYM, ^TO 1)
x 2 Gx  2) ESLI y 2 Gx , TO Gy = Gx  3) ESLI Gx I Gy | DWE ORBITY,
TO LIBO Gx = Gy , LIBO Gx I Gy NE PERESEKA@TSQ 4) MNOVESTWO
X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ
ORBIT.
   dEJSTWIE NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI U NEGO WSEGO ODNA ORBITA.
   mNOVESTWO X WMESTE S DEJSTWIEM GRUPPY G BUDEM NAZYWATX G -
MNOVESTWOM (LEWYM ILI PRAWYM). gOMOMORFIZM IZ G -MNOVESTWA X W
G -MNOVESTWO Y | \TO OTOBRAVENIE f : X ;! Y , TAKOE, ^TO f (gx) =
gf (x) DLQ WSEH g 2 G I x 2 X .

  pRIMER    5.1. pUSTX Y | NEKOTOROE G -MNOVESTWO, X | NEKOTO-
RAQ EGO ORBITA. o^EWIDNO, ^TO OGRANI^ENIE NA X DEJSTWIQ G NA Y
QWLQETSQ DEJSTWIEM G NA X , A WKL@^ENIE X  Y , RASSMATRIWAEMOE
KAK OTOBRAVENIE, QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM G -MNOVESTW.

   iZOMORFIZM G -MNOVESTW | \TO GOMOMORFIZM, QWLQ@]IHSQ BIEKCI-
EJ, PRI^EM OBRATNAQ BIEKCIQ TAKVE DOLVNA BYTX GOMOMORFIZMOM G -
MNOVESTW.
   pUSTX Xi | SEMEJSTWO G -MNOVESTW, i 2 I . oPREDELIM KOPROIZWE-
DENIE \TOGO SEMEJSTWA (OBOZNA^ENIE: i`2I Xi ) KAK DIZ_@NKTNOE OB_EDI-
NENIE MNOVESTW Xi (PODMNOVESTWA Xi WNUTRI \TOGO OB_EDINENIQ PO-
PARNO NE PERESEKA@TSQ). dEJSTWIE G NA X = i`2I Xi OPREDELQETSQ TAK:
ESLI g 2 G , A x 2 X , TO SU]ESTWUET ODNOZNA^NO OPREDELENNYJ INDEKS
i 2 I TAKOJ, ^TO x 2 Xi . w G -MNOVESTWE Xi OPREDELENO PROIZWEDENIE
gx 2 Xi . |TOT \LEMENT PO OPREDELENI@ I BUDET REZULXTATOM DEJSTWIQ
g NA x WO WSEM MNOVESTWE X . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO WYPOLNENY OBA
SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ DEJSTWIQ GRUPPY NA MNOVESTWE.
                                  8