Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 80 стр.

iZ TOVDESTWA (7) SLEDUET, ^TO v1 v2] = v1v2 +(v1  v2) . tAK KAK v1 v2]
WEKTOR, TO v1 v2]2  0. sLEDOWATELXNO, (v1v2 + (v1 v2))2  0 . pREOB-
RAZUEM LEWU@ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA.
      (   v1 v2   +(v1 v2     )) =
                                 2
                                      v1 v2 v1 v2          + 2(        )
                                                                  v1 v2 v1 v2   +(     
                                                                                     v1 v2   )  0:
                                                                                             2



zAMETIM, ^TO
         v1 v2 v1 v2   + 2(          )
                               v1 v2 v1 v2      =
                                            ; (v1v2 + v2v1 )v1v2 =
                                                      v1 v2 v1 v2

                       =;
                  v2 v1 v1 v2 = ;v2 v1 v2 = ;v1 v2 :
                                     2        2 2


pOSLEDNEE RAWENSTWO SLEDUET IZ UTWERVDENIQ PREDYDU]EJ ZADA^I O TOM,
^TO v12 MOVNO PERESTAWLQTX S L@BYM KWATERNIONOM. oTS@DA
                                      (     
                                          v1 v2   )   2
                                                          ; v12v22  0
^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.

 8.18. pUSTX v1 v2 v3 2 V . dOKAZATX, ^TO v1v2v1 , v1v3v3                                      | TAKVE
WEKTORY, I ESLI v12 = ;1 , TO (v1 v2v1 v1v3v1) = (v2 v3) .
 8.19. pUSTX v1v2v3 | WEKTOR. dOKAZATX, ^TO TOGDA v3v1v2 I v2 v3v1
| WEKTORY, I (v1v2v3 v1v2v3) = (v3v1v2 v3v1v2) . zAMETIM, ^TO ZDESX
NE PREDPOLAGAETSQ, ^TO WEKTORAMI QWLQ@TSQ v1 v2 I v3 .
 8.20. pUSTX v1 v2 v3 I v1v2v3 | WEKTORY. dOKAZATX, ^TO TOGDA WEK-
TOROM QWLQETSQ I v3v2v1 , PRI^EM v1v2v3 v3v2v1] = 0.


tEOREMA      pUSTX v1 v2 v3
             8.4.                                 |       ORTONORMIROWANNYJ BAZIS PROSTRAN-
STWA V . tOGDA
 1) = = = ;1
      2
     v1
              2
             v2     v3
                       2


                                                          80