Введение в теорию групп. Задачи и теоремы. Часть 2. Тронин С.Н. - 87 стр.

lEMMA        pUSTX 9.3.                    q 2 H . tOGDA SU]ESTWUET ORTOGONALXNOE LI-
NEJNOE OTOBRAVENIE                         q : V ;! V , TAKOE, ^TO q(v) = qvq;1 DLQ
KAVDOGO v 2 V .
dOKAZATELXSTWO nA^ATX NEOBHODIMO S OBOSNOWANIQ KORREKTNOSTI OPRE-
                                   .

DELENIQ, TO ESTX S PROWERKI TOGO, ^TO q (v) 2 V DLQ KAVDOGO v 2 V .
dLQ \TOGO DOSTATO^NO UBEDITXSQ, ^TO (qvq;1 )2  0 . w SAMOM DELE,
               (   qvq
                          ;1   )=
                               2
                                 = ; = ; =  0:
                                       qvq
                                                   ;1 qvq;1              qv q
                                                                               2       1             2
                                                                                                   v qq
                                                                                                                  1
                                                                                                                         v
                                                                                                                             2



zDESX ISPOLXZOWANO TO, ^TO ESLI | WEKTOR, TO  0 | SKALQR, I EGO   v                                      v
                                                                                                              2

MOVNO PERESTAWLQTX S L@BYMI KWATERNIONAMI. pROWERIM LINEJNOSTX.
pUSTX  2 ,  2 . tOGDA
            v1 v2           U          1       2     R


   ( + ) = ( + ) ; = ( ) ; + ( ) ; =
       q    1 v1          2v2              q       1 v1            2v2 q
                                                                               1
                                                                                           q        1 v1 q
                                                                                                                   1
                                                                                                                         q           2 v2 q
                                                                                                                                                  1

                   =         ; +     ; =  ( ) +  ( ):
                                           1 qv1 q
                                                           1
                                                                        2qv2 q
                                                                                       1
                                                                                                     1    q       v1             2       q   v2


dALEE NEOBHODIMO PROWERITX ORTOGONALXNOSTX.
 ( ( ) F ( )) = ; 12 (( ; )( ; ) + ( ; )( ; )) =
   q   v1          q   v2                          qv1 q
                                                               1       qv2 q
                                                                                   1               qv2 q
                                                                                                              1        qv1 q
                                                                                                                                     1



                 = ; 12 (      ; +     ; ) = ;1 (
                                              2    +
                                               qv1 v2 q  )  ; =    1
                                                                         qv2 v1 q
                                                                                               1
                                                                                                                  q v 1 v2               v2 v1 q
                                                                                                                                                      1



                 = ; 12 ( + ) ; = ; 12 ( + ) = v1 v 2          v2 v1 qq
                                                                                   1
                                                                                                         v1 v2          v2 v1

                 = (  ):              v1 v2


zDESX ISPOLXZOWANO TO, ^TO KWATERNION WIDA      + MOVNO PER-                                         v1 v2              v2 v1

STAWLQTX S L@BYM DRUGIM KWATERNIONAM. 2

lEMMA              9.4.     iME@T MESTO RAWENSTWA:
 1)  =  q1 q2          q1 q2

                                                                        87