Введение в универсальную и категорную алгебру - 19 стр.

kOLXCO NAZYWAETSQ ASSOCIATIWNYM, ESLI OPERACIQ UMNOVENIQ W R AS-
SOCIATIWNA, TO ESTX DLQ WSEH x y z 2 R IMEET MESTO RAWENSTWO x(yz ) =
(xy)z (ZNA^IT, R | POLUGRUPPA PO UMNOVENI@). kOLXCO NAZYWAETSQ
KOMMUTATIWNYM, ESLI R | KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA PO UMNOVENI@,
TO ESTX DLQ WSEH x y 2 R xy = yx . gOWORQT, ^TO R ESTX KOLXCO S EDI-
NICEJ, ESLI W POLUGRUPPE PO UMNOVENI@ R ESTX EDINICA 1 = 1R . aS-
SOCIATIWNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO S EDINICEJ NAZYWAETSQ TELOM, ESLI
MNOVESTWO NENULEWYH \LEMENTOW R ESTX GRUPPA OTNOSITELXNO OPERACII
UMNOVENIQ. kOLXCO R NAZYWAETSQ POLEM, ESLI R ESTX KOMMUTATIWNOE
TELO.
tEOREMA     3.1.   kAVDOE KONE^NOE TELO KOMMUTATIWNO, TO ESTX QW-
LQETSQ POLEM.
   gOWORQT, ^TO \LEMENT x 2 R QWLQETSQ DELITELEM NULQ, ESLI x 6= 0 I
SU]ESTWUET y 6= 0 , TAKOJ, ^TO LIBO xy = 0 , LIBO yx = 0 . |LEMENT x 2
R NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI SU]ESTWUET y 2 R , TAKOJ, ^TO xy = 1 I
yx = 1 . w ASSOCIATIWNOM KOLXCE S EDINICEJ MNOVESTWO WSEH OBRATIMYH
\LEMENTOW OBRAZUET GRUPPU PO UMNOVENI@, OBOZNA^AEMU@ ^EREZ U (R)
( GRUPPU OBRATIMYH \LEMENTOW KOLXCA R ). w ASSOCIATIWNOM KOLXCE
OBRATIMYJ \LEMENT NE MOVET BYTX DELITELEM NULQ.
   w DALXNEJEM RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO ASSOCIATIWNYE KOLXCA S EDI-
NICEJ, NAZYWAEMYE PROSTO KOLXCAMI.
   kOLXCO, W KOTOROM KAVDYJ NENULEWOJ \LEMENT NE QWLQETSQ DELITELEM
NULQ, NAZYWAETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI ( INOGDA | PROSTO OBLASTX@ ).
|TOT TERMIN ^A]E WSEGO PRIMENQETSQ K KOMMUTATIWNYM KOLXCAM.
   oPREDELENIE 3.2. pUSTX R , S | KOLXCA. gOMOMORFIZMOM KOLEC
(S EDINICEJ) NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE f : R ;! S , KOTOROE QWLQETSQ
GOMOMORFIZMOM ADDITIWNYH GRUPP I MULXTIPLIKATIWNYH POLUGRUPP,
                                  19