Введение в универсальную и категорную алгебру - 24 стр.

x1 2 R1 x2 2 R2 . oPERACII:
      (x1  x2) + (y1 y2) = (x1 + y1 x2 + y2)  ;(x y) = (;x ;y)
                       (x1 x2) (y1  y2) = (x1 y1 x2 y2 )
nULEWOJ \LEMENT W R1 R2 ESTX (0 0) , EDINICA | (1 1) = (1R  1R ) .1   2

oTOBRAVENIQ i : R1 R2 ! Ri , i (x1 x2) = xi , i = 1 2 , STANOWQTSQ
GOMOMORFIZMAMI KOLEC. pROIZWEDENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA KOLEC
USTROENO ANALOGI^NO. oTMETIM, ^TO ESLI DANY DWA GOMOMORFIZMA KOLEC
h1 : R ! R1 , h2 : R ! R2 , TO OTOBRAVENIE
             h : R ;! R1 R2                h(x) = (h1(x) h2 (x))
ESTX GOMOMORFIZM KOLEC, PRI^EM Ker(h) = Ker(h1) \ Ker(h2) .
   iDEALY A1 A2 KOLXCA R NAZYWA@TSQ WZAIMNO PROSTYMI (ILI KOMAK-
SIMALXNYMI ), ESLI A1 + A2 = R . |KWIWALENTNOE USLOWIE: SU]ESTWU@T
a1 2 A1 a2 2 A2 , TAKIE, ^TO a1 + a2 = 1 . dLQ WZAIMNO PROSTYH IDEA-
LOW A1 \ A2 = A1A2 , GDE IDEAL A1A2 OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEWOZ-
MOVNYH KONE^NYH SUMM WIDA P x1x2 , x1 2 A1 , x2 2 A2 . eSLI R = Z ,
A1 = n1 Z , A2 = n2Z , TO \TI IDEALY WZAIMNO PROSTY TOGDA I TOLXKO TOG-
DA, KOGDA WZAIMNO PROSTY ^ISLA n1 n2 . w \TOM SLU^AE A1A2 = (n1n2)Z .
tEOREMA       (\kITAJSKAQ TEOREMA OB OSTATKAH" ). pUSTX R
              3.8.                                                       |

KOMMUTATIWNOE KOLXCO, A1 A2 | WZAIMNO PROSTYE IDEALY. tOGDA
                            R=A1A2 = R=A1 R=A2:
sNA^ALA PO ESTESTWENNYM PROEKCIQM i : R ! R=Ai STROITSQ GOMOMOR-
FIZM  : R ! R=A1 R=A2 , (x) = (1(x) 2 (x)) S QDROM A1A2 . ~TO-
BY DOKAZATX EGO S@R_EKTIWNOSTX, NADO WZQTX PROIZWOLXNYE x1 x2 2 R ,
a1 2 A1 , a2 2 A2 , TAKIE, ^TO a1 + a2 = 1 , I x = x1a2 + x2a1 . tOGDA
(x) = (1(x1) 2(x2)) .
                                       24