Введение в универсальную и категорную алгебру - 27 стр.

SQ DWUHSTORONNIM IDEALOM R . |TO | TO VE SAMOE, ^TO I IDEAL KOLXCA
W SMYSLE DANNOGO WYE OPREDELENIQ.
    pRIMER 3.5 . mODULI NAD POLEM | \TO OBY^NYE WEKTORNYE PRO-
STRANSTWA, GOMOMORFIZMY | OBY^NYE LINEJNYE OTOBRAVENIQ.
    pRIMER 3.6 . mODULI NAD Z | \TO, W SU]NOSTI, TO VE SAMOE, ^TO
I (ADDITIWNO ZAPISYWAEMYE) ABELEWY GRUPPY. eSLI x 2 M , n 2 Z , TO
PRI n > 0 \LEMENT nx OPREDELQETSQ KAK SUMMA n \KZEMPLQROW x , A
PRI n < 0 | KAK SUMMA n \KZEMPLQROW ;x . gOMOMORFIZMY MODULEJ
NAD Z | \TO GOMOMORFIZMY ABELEWYH GRUPP.
   oPREDELENIE 3.6. pUSTX R | KOLXCO (DAVE NE OBQZATELXNO ASSO-
CIATIWNOE ILI S EDINICEJ), K | KOMMUTATIWNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO
S EDINICEJ. R NAZYWAETSQ ALGEBROJ NAD K (ILI K - ALGEBROJ), ESLI NA
R OPREDELENA STRUKTURA K - MODULQ (W DANNOM SLU^AE NEWAVNO, PRAWO-
GO ILI LEWOGO), TAKAQ, ^TO UMNOVENIE W R STANOWITSQ K - BILINEJNYM
OTOBRAVENIEM. |TO OZNA^AET, ^TO DLQ L@BYH x y z 2 R , a b 2 K IME-
@T MESTO RAWENSTWA (ax+by)z = a(xy)+b(xz ) , x(ay+bz ) = a(xy)+b(xz ) .
   pOD^ERKNEM, ^TO PO OPREDELENI@ ax = xa PRI x 2 R , a 2 K , TAK
^TO a(xy) = (xa)y = x(ay) = (xy)a .
   gOMOMORFIZM ALGEBR | \TO GOMOMORFIZM KOLEC, ODNOWREMENNO QWLQ-
@]IJSQ I GOMOMORFIZMOM MODULEJ.
lEMMA     3.3.eSLI R | ASSOCIATIWNOE KOLXCO S EDINICEJ, TO ZADA-
NIE NA R STRUKTURY K - ALGEBRY RAWNOSILXNO ZADANI@ GOMOMORFIZMA
KOLEC S EDINICEJ h : K ;! R , TAKOGO , ^TO DLQ L@BYH x 2 R , a 2 K
IMEET MESTO RAWENSTWO xh(a) = h(a)x .
eSLI ZADAN GOMOMORFIZM, TO STRUKTURA MODULQ OPREDELQETSQ TAK : xa =
xh(a) . eSLI ZADANA STRUKTURA ALGEBRY, TO GOMOMORFIZM STROITSQ TAK:
h(a) = a 1R . kOGDA h IN_EKTIWEN, TO OBY^NO S^ITA@T, ^TO \TO PROSTO
                                  27