Введение в универсальную и категорную алгебру - 29 стр.

DLQ WSEH x ,
                                   i      = ;1
                                       2 = j2 = k 2

                 ij = k = ;ji jk = i = ;kj ki = j = ;ik:


nETRUDNO PROWERITX, ^TO TEM SAMYM OPREDELENA ASSOCIATIWNAQ, NO NE
KOMMUTATIWNAQ ALGEBRA S EDINICEJ. oTOVDESTWIM R S PODKOLXCOM H ,
SOSTOQ]IM IZ \LEMENTOW WIDA r 1 , r 2 R . oPREDELIM DLQ KWATERNIONA
q = t 1+ x i + y j + z k EGO SOPRQVENNYJ q = t 1 ; x i ; y j ; z k . tOGDA
N (q) = qq = qq = t2 + x2 + y2 + z 2 2 R , N (q) = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA,
ESLI q = 0 . tEPERX DLQ L@BOGO q 6= 0 MOVNO POSTROITX OBRATNYJ PO
UMNOVENI@ \LEMENT
                                           q 1 = N1(q) q:
                                            ;




zAMETIM, ^TO C TAKVE MOVNO S^ITATX PODKOLXCOM                                    H   ( PODALGEBROJ S
BAZISOM 1 i ), NO H NE BUDET ALGEBROJ NAD C .
tEOREMA        3.12.       (fROBENIUS). pUSTX K
                                          KONE^NOMERNAQ ASSOCIA-   |

TIWNAQ ALGEBRA NAD POLEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL R ( TO ESTX K |
KONE^NOMERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD R ). eSLI K QWLQETSQ
TELOM (W STARYH KNIGAH PIUT : \ALGEBROJ S DELENIEM" ), TO LIBO
K = R , LIBO K = C , LIBO K = H .
   pRIMER 3.8 .  pUSTX K | KOMMUTATIWNOE KOLXCO, G | POLUGRUPPA
S EDINICEJ. kAK BUDET POKAZANO W SLEDU@]EM RAZDELE, MOVNO POSTROITX
SWOBODNYJ K -MODULX K G] S BAZISOM G . eGO \LEMENTY | FORMALXNYE
( KONE^NYE ) SUMMY WIDA xPG xcx , cx 2 K . uMNOVENIE W G ZADAET TE-
PERX \TABLICU UMNOVENIJ" DLQ ALGEBRY K G] . qWNYJ WID UMNOVENIQ
                                   2




\LEMENTOW TAKOW:
                           X           X               X            X
                       (       xax)(         yby ) =         z(             axby )
                       x G 2           y G
                                       2               z G
                                                       2          x2Gy2G
                                                                   xy=z

                                                 29