Введение в универсальную и категорную алгебру - 30 стр.

eDINICA G BUDET TAKVE EDINICEJ POLUGRUPPOWOJ ALGEBRY K G] . sAMU
POLUGRUPPU G MOVNO S^ITATX PODMNOVESTWOM ( BAZISOM ) K G] .
   eSLI G ESTX SWOBODNAQ KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA S BAZISOM X , TO
K G] ESTX NE ^TO INOE, KAK KOLXCO ( ALGEBRA) MNOGO^LENOW OT PEREMEN-
NYH X .
   zAMETIM, ^TO ESLI R | ALGEBRA NAD K , A | IDEAL R , TO FAKTOR-
KOLXCO R=A ESTESTWENNYM OBRAZOM TAKVE PREWRA]AETSQ W ALGEBRU NAD
K dOSTATO^NO POLOVITX DLQ c 2 K , x 2 R c(x + A) = (cx) + A . sOOT-
WETSTWU@]IJ GOMOMORFIZM K ;! R=A ESTX KOMPOZICIQ GOMOMORFIZ-
MOW K ;! R I R ;! R=A . eSLI K | POLE, TO WSE \TI GOMOMORFIZMY
IN_EKTIWNY, I MOVNO S^ITATX K KAK PODKOLXCOM R , TAK I PODKOLXCOI
R=A : c 2 K OTOVDESTWLQETSQ S c 1R + A .
   rASSMOTRIM BOLEE PODROBNO STROENIE KOLEC WIDA K x]=(f (x)) , GDE K
| POLE, f (x) 2 K x] . kAK UVE OTME^ENO, \TO | ALGEBRY NAD K .
tEOREMA       3.13. pUSTX K | POLE, f = f (x) = xn + an 1xn 1 + : : : +
                                                                   ;
                                                                        ;




a1x + a0 2 K x] . tOGDA FAKTORALGEBRA K x]=(f (x)) ESTX n - MERNOE
WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD K S BAZISOM
      1 = 1 + (f ) x = x + (f ) x2 = x2 + (f ) : : : :xn 1 = xn 1 + (f ):
                                                         ;        ;




w ^ASTNOSTI, ESLI K = Z=pZ | KONE^NOE POLE IZ p \LEMENTOW, p |
PROSTOE ^ISLO, TO MNOVESTWO K x]=(f (x)) SOSTOIT IZ pn \LEMENTOW.
  pOLE K = Z=pZ PRINQTO OBOZNA^ATX TAKVE ^EREZ Fp I NAZYWATX
PROSTYM KONE^NYM POLEM HARAKTERISTIKI p .
tEOREMA          ( tEOREMA O STROENII KONE^NYH POLEJ ). l@BOE KO-
              3.14.

NE^NOE POLE IZOMORFNO ODNOMU IZ POLEJ WIDA Fpx]=(f (x)) , GDE f (x) 2
Fp x] | NEKOTORYJ NEPRIWODIMYJ MNOGO^LEN. pROSTYE POLQ SOSTOQT,




                                       30