Введение в универсальную и категорную алгебру - 28 стр.

WKL@^ENIE, I, TAKIM OBRAZOM, K ESTX PODKOLXCO R S DOPOLNITELXNYM
SWOJSTWOM: WSE \LEMENTY K KOMMUTIRU@T SO WSEMI \LEMENTAMI R . w
^ASTNOSTI, R ESTX ALGEBRA NAD L@BYM SWOIM PODKOLXCOM S SOOTWET-
STWU@]IM SWOJSTWOM.
   mNOGIE RASSMOTRENNYE PRIMERY KOLEC QWLQ@TSQ TAKVE I PRIMERA-
MI ALGEBR. w ^ASTNOSTI, Mn(K ) I K x1 : : : xn] ESTX ALGEBRY NAD K .
wAVNYJ SPOSOB OPISANIQ ALGEBR DAET SLEDU@]AQ LEMMA:
lEMMA     3.4.   pUSTX R ESTX SWOBODNYJ MODULX NAD K S BAZISOM
f ei j i 2 I g ( SM. OPREDELENIE W SLEDU@]EM RAZDELE ). dOPUSTIM,
^TO DLQ L@BYH i j 2 I OPREDELENY WYRAVENIQ eiej = kPI ek ckij , GDE
ckij 2 K I PO^TI WSE RAWNY NUL@. tOGDA NA R MOVNO OPREDELITX
                                                           2




STRUKTURU K - ALGEBRY, POLAGAQ PROIZWEDENIE \LEMENTOW iPI eiai I
 P                  P
    e j bj RAWNYM       (eiej )aibj S POSLEDU@]EJ PODSTANOWKOJ WYRAVENIJ
                                                               2



j I               ij I
eiej I PRIWEDENIEM PODOBNYH ^LENOW:
2                2




                           X            X k
                                 ek (     ci j aibj ):
                           k I
                            2           ij I
                                          2



dLQ TOGO, ^TOBY POLU^IWAQSQ ALGEBRA BYLA ASSOCIATIWNYM KOLXCOM,
NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH i j k 2 I IMELI MESTO
RAWENSTWA (eiej )ek = ei(ej ek ) . dLQ TOGO, ^TOBY POLU^IWAQSQ ALGEBRA
BYLA KOMMUTATIWNYM KOLXCOM, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ
L@BYH i j 2 I IMELI MESTO RAWENSTWA eiej = ej ei .
|LEMENTY ckij 2 K NAZYWA@TSQ STRUKTURNYMI KONSTANTAMI ALGEBRY
R , A O ZADANII WYRAVENIJ eiej BUDEM GOWORITX KAK O \TABLICE UMNO-
VENIJ" ALGEBRY.
    pRIMER 3.7 . tELO KWATERNIONOW H | ALGEBRA NAD R . rASSMOTRIM
WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD R c BAZISOM IZ ^ETYREH \LEMENTOW 1 , i , j ,
k . oPREDELIM "TABLICU UMNOVENIQ" SLEDU@]IM OBRAZOM: 1 x = x 1 = x


                                          28