Введение в универсальную и категорную алгебру - 31 стр.

TAKIM OBRAZOM, IZ pn \LEMENTOW, GDE p | PROSTOE, A n > 0 | NEKO-
TOROE CELOE ^ISLO. oBRATNO, DLQ L@BYH p , n SU]ESTWUET (I EDINST-
WENNO S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA) KONE^NOE POLE IZ pn \LEMENTOW ,
IME@]EE WID Fpx]=(f (x)) ( PRI^EM f OPREDELEN NEODNOZNA^NO). eSLI
K | KONE^NOE POLE, TO GRUPPA U (K ) QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ.
   l@BOE POLE K ( KAK I L@BOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S EDINICEJ) ESTX
ALGEBRA NAD Z , I PO\TOMU SU]ESTWUET GOMOMORFIZM h : Z ;! K , TA-
KOJ, ^TO h(n) = n 1K . eSLI \TOT GOMOMORFIZM IN_EKTIWEN, TO MOVNO
S^ITATX, ^TO Z  K , A TOGDA I Q  K . w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO PO-
LE K IMEET NULEWU@ HARAKTERISTIKU ( ILI: HARAKTERISTIKA K RAWNA
NUL@, char(K ) = 0 ).
   eSLI VE Ker(h) =  6 f0g , TO Ker(h) = (p) = pZ DLQ NEKOTOROGO PROS-
TOGO p > 0 . w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO HARAKTERISTIKA POLQ K RAWNA
p , char(K ) = p > 0 . pO TEOREME O GOMOMORFIZME SU]ESTWUET IN_EKTIW-
NYJ GOMOMORFIZM Fp ! K , I MOVNO S^ITATX, ^TO POLQ HARAKTERISTIKI
p | \TO TE POLQ, KOTORYE SODERVAT Fp W KA^ESTWE PODPOLQ. w POLQH
HARAKTERISTIKI p > 0 ( BOLEE TOGO, W ALGEBRAH NAD TAKIMI POLQMI) DLQ
L@BOGO x IMEET MESTO TOVDESTWO px = x| + :{z: : + x} = 0 , A DLQ L@BYH
                                               p
x y , TAKIH, ^TO xy = yx , WYPOLNENO TOVDESTWO (x + y)p = xp + yp .
tEOREMA 3.15. pUSTX K | POLE, f (x) 2 K x] | MNOGO^LEN STE-
PENI n > 0 . sU]ESTWUET POLE L , SODERVA]EE K W KA^ESTWE PODPO-
LQ, TAKOE, ^TO f (x) 2 K x]  Lx] IMEET KORENX W L . bOLEE TOGO,
SU]ESTWUET DAVE TAKOE L , ^TO f RASKLADYWAETSQ W Lx] NA LINEJ-
NYE MNOVITELI.
   dOSTATO^NO S^ITATX f NEPRIWODIMYM ( W K x] ), I TOGDA W KA^ESTWE
POLQ L MOVNO WZQTX POLE K x]=(f ) . pOLE K MOVNO OTOVDESTWITX S
PODPOLEM K x]=(f ) , I TOGDA GOMOMORFIZM ESTESTWENNOJ PROEKCII  :
                                  31