Введение в универсальную и категорную алгебру - 32 стр.

K x] ;! K x]=(f ) STANOWITSQ GOMOMORFIZMOM K -ALGEBR. eSLI (x) =
x + (f ) = x , TO \TO ZNA^IT, ^TO DLQ L@BOGO g(x) = k=0   P
                                                          m
                                                            ak xk BUDET
(g(x)) = k=0P
             m
               ak xk = g(x) . w ^ASTNOSTI, DLQ g = f POLU^IM f (x) =
 (f ) = 0 .
     pRIMER 3.9 . pUSTX f (x) = x2 +1 2 Rx] . tOGDA Rx]=(x2 +1) IMEET
BAZIS NAD R IZ DWUH \LEMENTOW | 1 I x , PRI^EM W Rx]=(x2 +1) BUDET
x2 + 1 = 0 , TO ESTX x2 = ;1 . |TO OZNA^AET, ^TO Rx]=(x2 + 1) = C .
             4.   mODULI I WEKTORNYE PROSTRANSTWA       .


   wSE RASSMATRIWAEMYE MODULI PRAWYE, A GOMOMORFIZMY PIUTSQ SLE-
WA OT ARGUMENTOW. sLU^AJ LEWYH MODULEJ OGOWARIWAETSQ OSOBO.
   dLQ MODULEJ OPREDELENIQ KONSTRUKCIQ FAKTORMODULQ PO PODMODUL@
WWODQTSQ TO^NO TAKVE, KAK WYE DLQ (ABELEWYH) GRUPP. eSLI M       0




M | PODMODULX R -MODULQ M , TO STRUKTURA R -MODULQ NA M=M              0




OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

                        (x + M )r = (xr) + M 
                               0             0




GDE x 2 M , r 2 R . dLQ FAKTORMODULEJ SPRAWEDLIWY ANALOGI WSEH
UTWERVDENIJ O FAKTORGRUPPAH (\TEOREMA OB IZOMORFIZME" I T.P.), PRI-
WODIWIHSQ WYE.
   oPREDELENIE 4.1. mODULX V NAD KOLXCOM R NAZYWAETSQ SWOBOD-
NYM ( SWOBODNYM R -MODULEM ), ESLI ON OBLADAET BAZISOM, TO ESTX TAKIM
PODMNOVESTWOM X  V , KOTOROE POROVDAET V , I QWLQETSQ LINEJNO NE-
ZAWISIMYM NAD R .
   lINEJNOJ OBOLO^KOJ X , ILI PODMODULEM, POROVDENNYM X ( OBO-
ZNA^ENIE | hX i ) NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH LINEJNYH KOMBINACIJ
\LEMENTOW X S KO\FFICIENTAMI IZ R :

                                   32