Введение в универсальную и категорную алгебру - 35 стр.

     f Mi j i 2 I g .
(2) pRQMAQ SUMMA MODULEJ OPREDELENA ODNOZNA^NO S TO^NOSTX@ DO
    IZOMORFIZMA.
(3) eSLI DAN MODULX M I SEMEJSTWO EGO PODMODULEJ f Mi  M j i 2
    I g , TAKOE, ^TO M = iPI Mi , I DLQ WSEH i 2 I IMEET MESTO Mi \
    ( P Mj ) = f0g . tOGDA IMEET MESTO IZOMORFIZM M = iPI Mi .
                                      2



     j Ij =i
      2   6                                                            2



  sU]ESTWOWANIE USTANAWLIWAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. rASSMOTRIM
PRQMOE PROIZWEDENIE MODULEJ
                                Y
                    M = 
                                      Mi = f(mi )i I j mi 2 I g:
                                                    2

                                i I
                                2



S POKOMPONENTNO OPREDELENNYMI OPERACIQMI SLOVENIQ, WY^ITANIQ I
UMNOVENIQ NA \LEMENTY KOLXCA. w \TOM MODULE RASSMOTRIM PODMODULX
M , SOSTOQ]IJ IZ WSEH TEH (mi )i I , W KOTORYH mi = 0 DLQ PO^TI WSEH
                                           2



i 2 I . oTOBRAVENIQ qj : Mj ! M OPREDELQ@TSQ TAK : qj (x) = (mi ) , GDE
                 6 j mi = 0 . pUSTX Im(qj ) = Mj = Mj . tOGDA LEGKO
mj = x , A PRI i =                                            0




PROWERITX, ^TO KAVDYJ \LEMENT x 2 M ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W
WIDE SUMMY x = iPI xi , W KOTOROJ xi 2 M i I xi = 0 DLQ PO^TI WSEH
                                                        0




i 2 I . eSLI DANO SEMEJSTWO GOMOMORFIZMOW hi : Mi ! V , i 2 I , TO
                    2




GOMOMORFIZM f : M ! V , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH i 2 I IME@T MESTO
RAWENSTWA f qi = hi , STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. kAVDYJ x 2 M
ESTX SUMMA WIDA x = iPI qi(mi ) , W KOTOROJ mi 2 Mi OPREDELQ@TSQ PO
x ODNOZNA^NO I PO^TI WSE RAWNY NUL@. pOLOVIM f (x) = iPI hi(mi ) .
                            2




lEGKO PROWERITX, ^TO \TO GOMOMORFIZM, UDOWLETWORQ@]IJ SWOJSTWAM
                                                                   2




f qi = hi , I ^TO \TO EDINSTWENNO WOZMOVNYJ GOMOMORFIZM S TAKIMI
SWOJSTWAMI.
   iZ POSTROENIQ SLEDUET, ^TO ESLI I KONE^NO, NAPRIMER, I = f 1 2 : : : n g ,
TO PRQMAQ SUMMA FAKTI^ESKI SOWPADAET S PRQMYM PROIZWEDENIEM, TAK
                                               35