Введение в универсальную и категорную алгебру - 40 стр.

     pRIMER 5.2 .  pUSTX L ESTX MNOVESTWO POLOVITELXNYH NATURALX-
NYH ^ISEL. u NEGO IMEETSQ ESTESTWENNOE OTNOENIE PORQDKA ( \BOLXE-
MENXE"). oPREDELIM NOWOE OTNOENIE  , POLAGAQ n  m TOGDA I
TOLXKO TOGDA, ESLI n NACELO DELIT m , TO ESTX m = nk . lEGKO PROWE-
RITX, ^TO \TO | TAKVE OTNOENIE PORQDKA.
    pRIMER 5.3 . pO DANNOMU ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOMU MNOVESTWU
L WSEGDA MOVNO POSTROITX DWOJSTWENNOE (DUALXNOE ) K NEMU ^ASTI^-
NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO L SLEDU@]IM OBRAZOM. kAK MNOVESTWO ,
                                




L = L , A x  y W L TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x  y W L . zAMETIM,
                    




^TO (L ) = L .
            




   oPREDELENIE 5.2. pUSTX L | ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO.
|LEMENT z 2 L NAZYWAETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ \LEMENTOW x y 2 L ,
ESLI x y  z , I ESLI x y  w , TO z  w . oBOZNA^ENIE: z = sup(x y) .
|LEMENT z 2 L NAZYWAETSQ TO^NOJ NIVNEJ GRANX@ \LEMENTOW x y 2 L ,
ESLI x y  z , I ESLI x y  w , TO z  w . oBOZNA^ENIE: z = inf(x y) .
sOWERENNO ANALOGI^NO OPREDELQ@TSQ TO^NYE WERHNIE I NIVNIE GRANI
DLQ PROIZWOLXNYH PODMNOVESTW \LEMENTOW L .
   tO^NAQ WERHNQQ GRANX \LEMENTOW W L ESTX IH TO^NAQ NIVNQQ GRANX
W L , I ANALOGI^NO DLQ NIVNEJ GRANI.
     




   oPREDELENIE 5.3. rEETKOJ ( STRUKTUROJ) NAZYWAETSQ ^ASTI^NO
UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, W KOTOROM DLQ KAVDOJ PARY \LEMENTOW x y
SU]ESTWUET TO^NAQ WERHNQQ GRANX sup(x y) I TO^NAQ NIVNQQ GRANX
inf(x y) . pODREETKOJ REETKI L NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO L  L , 0




TAKOE, ^TO IZ x y 2 L SLEDUET sup(x y) 2 L , inf(x y) 2 L . nAIBOLX-
                         0                    0              0




IJ \LEMENT REETKI ( ESLI ON SU]ESTWUET ) NAZYWAETSQ EDINI^NYM
\LEMENTOM REETKI ( EDINICEJ ), I BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK 1 , NAI-
MENXIJ \LEMENT REETKI ( ESLI ON SU]ESTWUET ) NAZYWAETSQ NULEWYM
\LEMENTOM REETKI ( NULEM ), I BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK 0 .
                                    40