Введение в универсальную и категорную алгебру - 41 стр.

    mOVNO POKAZATX, ^TO TO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI SU]EST-
 WU@T DLQ L@BYH KONE^NYH PODMNOVESTW. oBOZNA^ENIQ: sup(x y) = x_y ,
 inf(x y) = x ^ y . w L@BOJ KONE^NOJ REETKE SU]ESTWU@T NULEWOJ I EDI-
 NI^NYJ \LEMENTY (KAK TO^NAQ NIVNQQ GRANX I TO^NAQ WERHNQQ GRANX
 WSEH \LEMENTOW REETKI). rEETKA NAZYWAETSQ POLNOJ, ESLI W NEJ SU-
 ]ESTWU@T TO^NYE WERHNIE I NIVNIE GRANI DLQ PROIZWOLXNYH PODMNO-
 VESTW \LEMENTOW.
 tEOREMA       5.1. pUSTX L | REETKA. tOGDA DLQ OPERACIJ _ I ^
  WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE TOVDESTWA :
(L1 ) x _ x = x , x ^ x = x .
(L2 ) x _ y = y _ x , x ^ y = y ^ x .
(L3 ) (x _ y) _ z = x _ (y _ z ) , (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z ) .
(L4 ) x _ (x ^ y) = x , x ^ (x _ y) = x   .


 oBRATNO, PUSTX ZADANO MNOVESTWO L S DWUMQ BINARNYMI OPERACIQ-
 MI (x y) 7! x _ y , (x y) 7! x ^ y , UDOWLETWORQ@]IMI TOVDESTWAM
 (L1) , (L2) , (L3) , (L4) PRI WSEH x y z 2 L . tOGDA MOVNO OPREDELITX NA
 L OTNOENIE ^ASTI^NOGO PORQDKA RAWENSTWOM
                       x  y , x_y = y , x^y = x                        ()
 pRI \TOM OKAZYWAETSQ, ^TO x _ y = sup(x y) , x ^ y = inf(x y) . eSLI
 BINARNYE OPERACII _ I ^ SAMI BYLI PERWONA^ALXNO OPREDELENY, KAK
 TO^NYE WERHNIE I NIVNIE GRANI W ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOM MNOVES-
 TWE, TO OPREDELENNOE S POMO]X@ (*) OTNOENIE PORQDKA SOWPADAET
 S ISHODNYM.
   tAKIM OBRAZOM, TOVDESTWA (L1 ) , (L2) , (L3) , (L4) DA@T DRUGOE, RAWNO-
 SILXNOE, OPREDELENIE REETKI. oTNOENIE PORQDKA WYRAVAETSQ ^EREZ
                                      41