Введение в универсальную и категорную алгебру - 48 стр.

NIE \LEMENTA A 2 Pow(X ) ESTX TEORETIKO-MNOVESTWENNOE DOPOLNENIE
A  X , TO ESTX A = X nA .
                       0




   pRIMER 6.2 . rASSMOTRIM MNOVESTWO X = f0 1g I MNOVESTWO Bn
WSEH OTOBRAVENIJ IZ X n W X , GDE n  0 FIKSIROWANO. sTRUKTURA
BULEWOJ ALGEBRY NA Bn OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
         (f _ g)(x1  : : : xn) = max(f (x1  : : : xn) g(x1 : : : xn))
         (f ^ g)(x1  : : : xn) = min(f (x1  : : :  xn) g(x1 : : : xn))
         f (x1  : : : xn) = 1 ; f (x1  : : :  xn):
           0




   aTOMOM W REETKE S NULEM L NAZYWAETSQ TAKOJ \LEMENT a 2 L , DLQ
KOTOROGO IZ 0  x  a SLEDUET x = 0 ILI x = a .
tEOREMA        6.2.   (m.sTOUN). l@BAQ KONE^NAQ BULEWA ALGEBRA IZOMORF-
NA BULEWOJ ALGEBRE WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA SWOIH ATOMOW.
   bULEWYM KOLXCOM NAZYWAETSQ ASSOCIATIWNOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO
S EDINICEJ, W KOTOROM DLQ L@BOGO \LEMENTA x IME@T MESTO RAWENSTWA
x + x = 0 , I x2 = x .fAKTI^ESKI DOSTATO^NO POTREBOWATX , ^TOBY DLQ
KAVDOGO x IMELO MESTO x2 = x . tOGDA x + x = (x + x)2 = xx + xx +
xx + xx = x + x + x + x , OTKUDA SLEDUET x + x = 0 , TO ESTX x = ;x .
kROME TOGO, x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y ,
^TO WLE^ET xy + yx = 0 , TO ESTX xy = ;yx = yx .
tEOREMA        6.3. sU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEV-
DU BULEWYMI ALGEBRAMI I BULEWYMI KOLXCAMI, ZADAWAEMOE SLEDU@]IM
OBRAZOM. l@BAQ BULEWA ALGEBRA PREWRA]AETSQ W BULEWO KOLXCO, ESLI
OPREDELITX OPERACI@ UMNOVENIQ x y = x ^ y , I SLOVENIQ x + y =
(x ^ y) _ (x ^ y ) . oBRATNO, L@BOE BULEWO KOLXCO STANOWITSQ BULEWOJ
  0              0




ALGEBROJ, ESLI POLOVITX x ^ y = x y , x _ y = x + y + x y , x = x +1 .
                                                                   0




                                     48