Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K(  A) : K ! Set , KOTORYJ OTOBRAVAET OB_EKT X W MNOVESTWO MOR-
FIZMOW K(X A) , A MORFIZMU f : X ! Y SOOTWETSTWUET OTOBRAVENIE
K(f A) : K(Y A) ! K(X A) , PEREWODQ]EE ' : Y ! A W KOMPOZICI@
'f : X ! Y ! A . eSLI KATEGORIQ K PREDADDITIWNA, TO OPISAN-
NYE WYE FUNKTORY MOVNO S^ITATX FUNKTORAMI NE W KATEGORI@ MNO-
VESTW, A W KATEGORI@ ABELEWYH GRUPP, TAK KAK PO OPREDELENI@ PREDAD-
DITIWNOSTI K WSE K(X A) , K(A X ) | ABELEWY GRUPPY, I OTOBRAVE-
NIQ (NAPRIMER) K(A f ) QWLQ@TSQ GOMOMORFIZMAMI ABELEWYH GRUPP:
K(A f )('0     '00 ) = f ('0 '00 ) = f'0 f'00 = K(A f )('0 ) K(A f )('00 ) .
bOLEE TOGO, FUNKTORY K(A ) , K(  A) QWLQ@TSQ ADDITIWNYMI. nA-
PRIMER, IZ K(A f 0 f 00 )(') = (f 0 f 00 )' = f 0 ' f 00 ' = K(A f 0 )(')
K(A f 00 )(') SLEDUET K(A f 0     f 00 ) = K(A f 0 ) K(A f 00 ) .
    pRIMER 1.11 . e]E ODIN PRIMER KONTRAWARIANTNOGO FUNKTORA |
FUNKTOR P : Set ! Set OTOBRAVA@]IJ MNOVESTWO X W P(X ) |
MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW X . pRI \TOM, ESLI DANO OTOBRAVENIE
f : X ! Y , TO P(f ) : P(Y ) ! P(X ) SOPOSTAWLQET PODMNOVESTWU
Y 0  Y PODMNOVESTWO f ;1 (Y 0)  X , f ;1(Y 0) = fx 2 X jf (x) 2 Y 0 g .
dLQ TOGO, ^TOBY POKAZATX, ^TO \TO FUNKTOR, NEOBHODIMO UBEDITXSQ,
^TO P(f )P(g) = P(gf ) , ^TO SWODITSQ K LEGKOJ PROWERKE TOVDESTWA
(gf );1 (Z 0 ) = f ;1 (g;1(Z 0)) .
    pUSTX DANY DWA FUNKTORA F1 : K1 ! K2 , F2 : K2 ! K3 . tOGDA
OPREDELENA IH KOMPOZICIQ | FUNKTOR F2F1 : K1 ! K3 , OTOBRAVA-
@]IJ OB_EKT X W OB_EKT F2(F1 (X )) , A MORFIZM f : X ! Y |
W MORFIZM F2F1(f ) = F2 (F1(f )) : F2(F1 (X )) ! F2(F1 (Y )) . sWOJSTWA
FUNKTORA SLEDU@T PRQMO IZ OPREDELENIQ. nETRUDNO TAKVE UBEDITXSQ,
^TO KOMPOZICIQ FUNKTOROW ASSOCIATIWNA, TAK ^TO MOVNO GOWORITX I
O KATEGORII, OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ KATEGORII, A MORFIZMAMI
| FUNKTORY.
    rASSMOTRIM, ODNAKO, DRUGU@ SITUACI@. pUSTX Fun(K C) | KLASS
WSEH FUNKTOROW IZ KATEGORII K W KATEGORI@ C . pREWRATIM EGO W KA-
TEGORI@, OB_EKTY KOTOROJ | FUNKTORY, A MORFIZMY (NAZYWAEMYE ES-
TESTWENNYMI PREOBRAZOWANIQMI, ILI MORFIZMAMI FUNKTOROW), OPRE-
DELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.
    oPREDELENIE 1.6. pUSTX DANY DWA FUNKTORA F1 F2 : K ! C .
eSTESTWENNOE PREOBRAZOWANIE  : F1 ! F2 | \TO SLEDU@]IJ NABOR
DANNYH. dLQ KAVDOGO OB_EKTA X IZ K DOLVEN BYTX ZADAN MORFIZM
                                      10

Страницы