Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   eSLI DANY PREDADDITIWNYE KATEGORII K I C , TO FUNKTOR F :
C ;! K NAZYWAETSQ ADDITIWNYM, ESLI DLQ L@BOJ PARY OB_EKTOW
X Y 2 Ob C SOOTWETSTWU@]EE OTOBRAVENIE C(X Y ) ;! K(F (X ) F (Y ))
QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM ABELEWYH GRUPP. |TO OZNA^AET, ^TO DLQ L@-
BYH MORFIZMOW   : X ;! Y IMEET MESTO RAWENSTWO F (  ) =
F () F ( ) . rAZUMEETSQ, F (0) = 0 .
   rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW FUNKTOROW.
    pRIMER 1.8 . pUSTX C | KATEGORIQ S ODNIM OB_EKTOM X , K
| KATEGORIQ S ODNIM OB_EKTOM Y . kAK UVE IZWESTNO, KATEGORIQ C
POLNOSTX@ OPREDELQETSQ MONOIDOM C = C(X X ) , A KATEGORIQ K |
MONOIDOM K = K(Y Y ) . lEGKO UBEDITXSQ, ^TO ZADANIE KOWARIANTNOGO
FUNKTORA F : C ;! K RAWNOSILXNO ZADANI@ GOMOMORFIZMA MONOIDOW
IZ C W K . w SAMOM DELE, OB_EKT X DOLVEN OTOBRAVATXSQ W OB_-
EKT Y ( TAK KAK DRUGIH WOZMOVNOSTEJ NET), I TOGDA FUNKTOR POLNOS-
TX@ OPREDELQETSQ OTOBRAVENIEM FXX : C(X X ) ;! K(F (X ) F (X )) =
K(Y Y ) , TAKIM, ^TO F ( ) = F ()F ( ) I F (1) = 1 . eSLI C I K
PREDADDITIWNY, TO ZADANIE ADDITIWNOGO FUNKTORA IZ C W K RAWNO-
SILXNO ZADANI@ GOMOMORFIZMA ASSOCIATIWNYH KOLEC S EDINICEJ IZ C
W K.
    pRIMER 1.9 . zAFIKSIRUEM MNOVESTWO A . dLQ PROIZWOLXNOGO
MNOVESTWA X POLOVIM FA (X ) = A  X , A DLQ PROIZWOLXNOGO OTO-
BRAVENIQ f : X ! Y POLOVIM FA (f ) = 1A  f : A  X ! A  Y .
nAPOMNIM, ^TO \TO OTOBRAVENIE PEREWODIT (a x) W (a f (x)) DLQ L@-
BYH a 2 A , x 2 X . nETRUDNAQ PROWERKA POKAZYWAET, ^TO FA ESTX
FUNKTOR IZ KATEGORII MNOVESTW Set W Set . tO^NO TAK VE MOVNO
OPREDELITX FUNKTOR WIDA Set ! Set , X 7! X  A , f 7! f  1A .
    pRIMER 1.10 . dLQ L@BOJ KATEGORII K I L@BOGO OB_EKTA A IZ
K OPREDELEN KOWARIANTNYJ FUNKTOR K ! Set , OTOBRAVA@]IJ OB_-
EKT X W MNOVESTWO WSEH MORFIZMOW K(A X ) IZ A W X , A MOR-
FIZM f : X ! Y W OTOBRAVENIE K(A f ) : K(A X ) ! K(A Y ) , KO-
TOROE PEREWODIT \LEMENT ' 2 K(A X ) (TO ESTX MORFIZM A ! X )
W KOMPOZICI@ f' : A ! X ! Y . iZ ASSOCIATIWNOSTI KOMPOZI-
CII MORFIZMOW K SLEDUET, ^TO DLQ g : Y ! Z IMEET MESTO RA-
WENSTWO K(A g)K(A f ) = K(A gf ) . tAKIM OBRAZOM, POSTROENNOE SO-
OTWETSTWIE QWLQETSQ FUNKTOROM, KOTORYJ BUDET OBOZNA^ATXSQ ^EREZ
K(A ) . pODOBNYM VE OBRAZOM STROITSQ KONTRAWARIANTNYJ FUNKTOR


                                 9

Страницы