Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 35 стр.

Nx PO SOOTWETSTWU@]EJ KONGRU\NCII NORMALXNOJ PODGRUPPE N .
 dOKAZATELXSTWO. pUSTX C | KONGRU\NCIQ NA MULXTIPLIKATIWNO
ZAPISYWAEMOJ GRUPPE G S EDINICEJ 1 . pOLOVIM N = fx 2 Gjx C
1g . uTWERVDAETSQ, ^TO \TO NORMALXNAQ PODGRUPPA. w SAMOM DELE, 1
1 , I ESLI x 1 , y 1 , TO PO OPREDELENI@ KONGRU\NCII DOLVNO
BYTX x y 1 1 = 1 . dALEE, W OPREDELENIE GRUPPY WHODIT UNARNAQ
OPERACIQ WZQTIQ OBRATNOGO \LEMENTA. pO OPREDELENI@ KONGRU\NCII,
\TO OZNA^AET, ^TO IZ x y SLEDUET x;1 y;1 . w ^ASTNOSTI, ESLI
x 1 , TO x;1 1;1 = 1 . iTAK, DOKAZANO, ^TO N | PODGRUPPA.
pUSTX x 2 N , I g 2 G | PROIZWOLXNYJ \LEMENT. pEREMNOVIM LEWYE
I PRAWYE ^ASTI SLEDU@]IH \KWIWALENTNOSTEJ: g g , x 1 , g;1
g;1 . pO OPREDELENI@ KONGRU\NTNOSTI \TO DAST g x g;1 g 1 g;1 = 1 .
sLEDOWATELXNO, gxg;1 2 N , TAK ^TO N | NORMALXNAQ PODGRUPPA.
o^EWIDNO, ^TO x y W GRUPPE DLQ L@BOGO z 2 G RAWNOSILXNO xz
yz : ^TOBY SDELATX OBRATNYJ PEREHOD, DOSTATO^NO UMNOVITX OBE ^ASTI
SPRAWA NA z ;1 . eSLI TEPERX WZQTX z = y;1 , TO POLU^IM TREBUEMOE
UTWERVDENIE: x y RAWNOSILXNO xy;1 1 , TO ESTX n = xy;1 2 N .
pRI \TOM y = n;1x 2 Nx , I OBRATNO, ESLI y 2 Nx , TO y = zx ,
z 2 N , ^TO RAWNOSILXNO RAWENSTWU z ;1 = xy;1 , TO ESTX x y .
    pUSTX N | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . iZ TEORII GRUPP
HOROO IZWESTNO, ^TO GRUPPA G PREDSTAWLQETSQ W WIDE OB_EDINENIQ
RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW Nx , KOTORYE NE PERESEKA@TSQ, I TEM
SAMYM OBRAZU@T RAZBIENIE MNOVESTWA G . sOOTWETSTWU@]EE OTNOE-
NIE \KWIWALENTNOSTI (\TO TAKVE IZWESTNYJ FAKT) OPISYWAETSQ TAK:
x y (T.E. x y PRINADLEVAT ODNOMU I TOMU VE SMEVNOMU KLASSU)
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA xy;1 2 N . pROWERIM SWOJSTWO KONGRU-
\NTNOSTI. eSLI x1 y1 , x2 y2 , TO xiyi;1 = zi 2 N , i = 1 2 , I
TOGDA (x1x2)(y1 y2);1 = x1(x2 y2;1)y1;1 = x1z2y1;1 . tAK KAK z2 2 N , I
N NORMALXNA, TO z2y1;1 = y1;1 z DLQ NEKOTOROGO z 2 N . tAKIM OB-
RAZOM, (x1x2)(y1 y2);1 = x1y1;1z = z1z 2 N . nAKONEC, ESLI x y , TO
xy;1 2 N . wOSPOLXZUEMSQ SLEDU@]IM SWOJSTWOM NORMALXNYH POD-
GRUPP: ESLI ab 2 N , TO I ba = b(ab)b;1 2 N . w NAEM SLU^AE OTS@DA
SLEDUET, ^TO IZ xy;1 2 N SLEDUET y;1x 2 N . nO \TO OZNA^AET, ^TO
y;1 x;1 . tEOREMA DOKAZANA.
lEMMA 3.2. pERESE^ENIE OTNOENIJ \KWIWALENTNOSTI NA MNOVES-
TWE X (KAK PODMNOVESTW X  X ) TAKVE QWLQETSQ OTNOENIEM
                                  35