Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 36 стр.

\KWIWALENTNOSTI. tO VE SAMOE MOVNO SKAZATX I O PERESE^ENII MNO-
GOOSNOWNYH OTNOENIJ \KWIWALENTNOSTI.
 dOKAZATELXSTWO. pUSTX fRi jRi  X  X i 2 I g | SEMEJSTWO
OTNOENIJ \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE X . pROWERIM, ^TO R =
 \ R | TAKVE OTNOENIE \KWIWALENTOSTI. tAK KAK (x x) 2 Ri DLQ
i2I i
L@BOGO x 2 X I WSEH i 2 I , TO (x x) 2 R = i\2I Ri . eSLI (x y) 2 R ,
TO (x y) 2 Ri DLQ WSEH i 2 I . nO TOGDA (y x) 2 Ri DLQ WSEH i , OTKUDA
SLEDUET, ^TO (y x) SODERVITSQ I W PERESE^ENII WSEH \TIH MNOVESTW,
TO ESTX W R . aNALOGI^NO, ESLI (x y) (y z ) 2 R , TO (x y) (y z ) 2
Ri DLQ WSEH i 2 I . tAK KAK Ri | OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI, TO
(x z ) 2 Ri DLQ WSEH i 2 I . nO \TO OZNA^AET, ^TO (x z ) 2 i\2I Ri =
R . mNOGOOSNOWNYJ SLU^AJ LEGKO SLEDUET IZ ODNOOSNOWNOGO. lEMMA
DOKAZANA.
lEMMA 3.3. 1) pERESE^ENIE KONGRU\NCIJ ESTX KONGRU\NCIQ.
 2) sU]ESTWUET KONGRU\NCIQ hEi , POROVDENNAQ DANNYM OTNOE-
      NIEM E  A  A (TO ESTX NAIMENXAQ PO WKL@^ENI@ KONGRU-
      \NCIQ, SODERVA]AQ DANNOE OTNOENIE).
 dOKAZATELXSTWO. uTWERVDENIE 1) ESTX SLEDSTWIE DWUH FAKTOW: PE-
RESE^ENIE PODALGEBR ESTX PODALGEBRA I PERESE^ENIE OTNOENIJ \KWI-
WALENTNOSTI ESTX OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI. oBA \TIH FAKTA BYLI
DOKAZANY WYE.
   pUSTX E  A  A . oPREDELIM hEi KAK PERESE^ENIE WSEH KONGRU\N-
CIJ, SODERVA]IH E . uVE DOKAZANO, ^TO \TO KONGRU\NCIQ, SODERVA]AQ
E . iZ POSTROENIQ SRAZU SLEDUET, ^TO L@BAQ KONGRU\NCIQ, SODERVA]AQ
OTNOENIE E , SODERVIT I KONGRU\NCI@ hEi . lEMMA DOKAZANA.
sLEDSTWIE 3.1. mNOVESTWO WSEH KONGRU\NCIJ NA DANNOJ ALGEBRE
A , UPORQDO^ENNOE PO WKL@^ENI@, ESTX REETKA.
 dOKAZATELXSTWO. uPORQDO^ENIE NA MNOVESTWE KONGRU\NCIJ ZADA-
ETSQ TAK: C1 C2 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI C1  C2 . ~ITATE-
L@ PREDLAGAETSQ PROWERITX SAMOSTOQTELXNO (\TO NETRUDNO), ^TO TO^-
NAQ NIVNQQ GRANX C1 ^ C2 = C1 \ C2 , A TO^NAQ WERHNQQ GRANX |
C1 _ C2 = hC1  C2i .
                                   36