Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 37 стр.

tEOREMA       3.5.   pUSTX A ESTX  -ALGEBRA, I C | KONGRU\NCIQ
NA A . tOGDA NA GRADUIROWANNOM FAKTORMNOVESTWE A=C MOVNO
OPREDELITX STRUKTURU  -ALGEBRY TAK, ^TO MORFIZM ESTESTWEN-
NOJ PROEKCII  : A ;! A=C STANOWITSQ S@R_EKTIWNYM GOMOMOR-
FIZMOM ALGEBR, TAKIM, ^TO C = Ker() .
 dOKAZATELXSTWO. pUSTX C = fCsjs 2 S g , GDE DLQ KAVDOGO s 2 S
Cs | OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE As . tOGDA A=C =
fAs=Csjs 2 S g . oPREDELIM NA \TOM GRADUIROWANNOM MNOVESTWE STRUK-
TURU  -ALGEBRY SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX ! 2 s :::snj , zi 2 Asi =Csi
                                                         1
DLQ WSEH i = 1 : : : n . mOVNO PREDSTAWITX KAVDYJ \LEMENT zi W WIDE
zi = Csi xi DLQ NEKOTOROGO xi 2 Asi . tOGDA POLAGAEM
                    (Cs x1) : : : (Csn xn)! = Cj (x1 : : : xn!) :
                     1

~TOBY DOKAZATX KORREKTNOSTX \TOGO OPREDELENIQ, NADO UBEDITXSQ, ^TO
ZNA^ENIE PRAWOJ ^ASTI NE ZAWISIT OT WYBORA \LEMENTOW x1 : : :xn DLQ
DANNYH z1 : : : zn . wYBOR DRUGIH \LEMENTOW x01 : : : x0n , TAKIH, ^TO
Csi xi = Csi x0i DLQ WSEH i , OZNA^AET, ^TO xi x0i (PO OTNOENI@ Csi ).
tOGDA PO OPREDELENI@ KONGRU\NTNOSTI x1 : : : xn! x01 : : : x0n! , A \TO
ZNA^IT, ^TO Cj (x1 : : : xn!) = Cj (x01 : : : x0n!) . w SLU^AE n = 0 MY IMEEM
DELO S KONSTANTOJ, KOTORAQ PO OPREDELENI@ RAWNA !A=C = Cj !A .
   pRI TAKOM OPREDELENII OPERACIJ NA A=C MORFIZM GRADUIROWAN-
NYH MNOVESTW  : A ;! A=C , KOMPONENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ
ESTESTWENNYE PROEKCII s : As ;! As =Cs , STANOWITSQ GOMOMORFIZ-
MOM ALGEBR. w SAMOM DELE, TAK KAK si (xi ) = Csi xi , TO DANNOE WYE
OPREDELENIE OPERACIJ W A=C PREWRA]AETSQ W RAWENSTWO
                     hs (x1) : : : hsn (xn)! = hj (x1 : : :xn!)
                     1

I ESLI !A 2 j (A FAKTI^ESKI !A 2 Aj ), TO !A=C = hj (!A ) . |TO I
ESTX SWOJSTWA, OPREDELQ@]IE GOMOMORFIZM ALGEBR. o^EWIDNO, ^TO ON
S@R_EKTIWEN, I LEGKO UBEDITXSQ, ^TO C = Ker() . tEOREMA DOKAZANA.
  oPREDELENIE      pOSTROENNAQ W PREDYDU]EJ TEOREME ALGEBRA
                     3.4.
A=C NAZYWAETSQ FAKTORALGEBOJ ALGEBRY A PO KONGRU\NCII C .
tEOREMA       3.6.(tEOREMA O GOMOMORFIZME). eSLI IMEETSQ KONGRU-
\NCIQ C    NA ALGEBRE A , I GOMOMORFIZM h : A ;! B TAKOJ, ^TO
                                     37